Darstellung in der Ebene
In der Gauß'schen Zahlenebene (auch: komplexe Zahlenebene) wird jede komplexe Zahl \( z = a + bi \) als Punkt \( (a, b) \) dargestellt:
- Reelle Achse (horizontal): Realteil \( a \)
- Imaginäre Achse (vertikal): Imaginärteil \( b \)
- Reelle Zahlen liegen auf der reellen Achse
- Rein imaginäre Zahlen liegen auf der imaginären Achse
\( z_1 = 3 + 2i \) entspricht dem Punkt \( (3, 2) \)
\( z_2 = -1 + 4i \) entspricht dem Punkt \( (-1, 4) \)
\( z_3 = 2 - 3i \) entspricht dem Punkt \( (2, -3) \)
Geometrische Deutung: Die Addition komplexer Zahlen entspricht der Vektoraddition. Die konjugiert komplexe Zahl \( \overline{z} \) ist die Spiegelung an der reellen Achse.
Betrag und Argument
Der Betrag \( |z| \) ist der Abstand vom Ursprung, das Argument \( \varphi \) ist der Winkel zur positiven reellen Achse.
\( |z| = r = \sqrt{a^2 + b^2} \)
\( \varphi = \arg(z) = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) \) (unter Berücksichtigung des Quadranten)
\( z = 1 + i \)
\( |z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \)
\( \varphi = \arctan\left(\frac{1}{1}\right) = \frac{\pi}{4} = 45° \)
Polarform
Die Polarform (trigonometrische Form) stellt eine komplexe Zahl durch Betrag und Argument dar:
\( z = r \cdot (\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi) \)
mit \( r = |z| \) und \( \varphi = \arg(z) \)
Umrechnung:
- Kartesisch \(\to\) Polar: \( r = \sqrt{a^2+b^2} \), \( \varphi = \arctan\frac{b}{a} \)
- Polar \(\to\) Kartesisch: \( a = r \cos\varphi \), \( b = r \sin\varphi \)
\( z = 2(\cos 60° + i \sin 60°) = 2\left(\frac{1}{2} + i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 1 + \sqrt{3}\,i \)
Multiplikation und Division in Polarform
In der Polarform wird die Multiplikation besonders einfach:
\( z_1 \cdot z_2 = r_1 \cdot r_2 \cdot [\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + \varphi_2)] \)
\( \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \cdot [\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 - \varphi_2)] \)
Merkregel: Bei der Multiplikation werden die Beträge multipliziert und die Argumente addiert. Bei der Division werden die Beträge dividiert und die Argumente subtrahiert.
Euler-Form
Die Euler-Form nutzt die berühmte Euler'sche Formel:
\( e^{i\varphi} = \cos\varphi + i \sin\varphi \)
Daher: \( z = r \cdot e^{i\varphi} \)
Euler'sche Identität -- die "schönste Formel der Mathematik":
\( e^{i\pi} + 1 = 0 \)
Diese Formel verbindet die fünf wichtigsten mathematischen Konstanten \( e \), \( i \), \( \pi \), \( 1 \) und \( 0 \).
\( z^n = r^n \cdot e^{in\varphi} = r^n (\cos(n\varphi) + i \sin(n\varphi)) \)
Berechne \( (1+i)^4 \): \( r = \sqrt{2} \), \( \varphi = \frac{\pi}{4} \)
\( (1+i)^4 = (\sqrt{2})^4 \cdot e^{i \cdot 4 \cdot \frac{\pi}{4}} = 4 \cdot e^{i\pi} = 4 \cdot (-1) = -4 \)
Zusammenfassung
Kartesische Form: \( z = a + bi \)
Polarform: \( z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi) \)
Euler-Form: \( z = r \cdot e^{i\varphi} \)
Betrag: \( r = \sqrt{a^2+b^2} \), Argument: \( \varphi = \arctan\frac{b}{a} \)
Multiplikation: Beträge multiplizieren, Argumente addieren
Übungen
In welchem Quadranten der Gauß'schen Ebene liegt \( z = -2 + 3i \)?
Bestimme den Betrag von \( z = 3 - 4i \).
Schreibe \( z = 2(\cos 30° + i \sin 30°) \) in kartesischer Form.
Bestimme das Argument von \( z = -1 + i \).
Berechne \( (1+i)^6 \) mit dem Satz von Moivre.