Einheitsvektor und Normalvektor: normieren, Kippregel, Beispiele

Einheitsvektor: einen Vektor normieren

Ein Einheitsvektor ist ein Vektor mit dem Betrag 1. Zu jedem Vektor \(\vec{a} \neq \vec{o}\) gibt es genau einen Einheitsvektor mit derselben Richtung und Orientierung. Man erhält ihn, indem man \(\vec{a}\) durch seinen Betrag dividiert. Diesen Vorgang nennt man Normieren.

Einheitsvektor zu \(\vec{a}\)

\(\vec{a}_0 = \dfrac{1}{|\vec{a}|} \cdot \vec{a} = \dfrac{1}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}} \cdot \binom{a_1}{a_2}\)

Beispiel 1: \(\vec{a} = \binom{3}{4}\) normieren

Betrag: \(|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\)

Dividieren: \(\vec{a}_0 = \frac{1}{5} \binom{3}{4} = \binom{0{,}6}{0{,}8}\)

Probe: \(|\vec{a}_0| = \sqrt{0{,}36 + 0{,}64} = \sqrt{1} = 1\)

Beispiel 2: \(\vec{b} = \binom{-2}{5}\), der Betrag ist keine ganze Zahl

\(|\vec{b}| = \sqrt{(-2)^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}\)

Exakt: \(\vec{b}_0 = \frac{1}{\sqrt{29}} \binom{-2}{5}\). Gerundet: \(\sqrt{29} \approx 5{,}385\), also \(\vec{b}_0 \approx \binom{-0{,}371}{0{,}928}\)

Die exakte Form mit \(\frac{1}{\sqrt{29}}\) ist bei Schularbeiten die sichere Wahl: Sie ist kurz und ohne Rundungsfehler. Die Dezimalform braucht man nur, wenn ein Punkt gezeichnet werden soll. Beim Normieren bleibt die Orientierung erhalten; der Vektor \(-\vec{a}_0 = \binom{-0{,}6}{-0{,}8}\) ist ebenfalls ein Einheitsvektor, zeigt aber in die Gegenrichtung.

Vektoren mit vorgegebener Länge

Wozu der Einheitsvektor gut ist, zeigt sich, sobald eine Länge vorgegeben wird: Ein Vektor der Länge 10 in Richtung \(\vec{a}\) ist einfach \(10 \cdot \vec{a}_0 = \binom{6}{8}\). Allgemein hat \(k \cdot \vec{a}_0\) die Länge \(k\).

Beispiel 3: Von \(A = (2 \mid 1)\) aus 7 Einheiten in Richtung \(\binom{3}{4}\) gehen

Einheitsvektor der Richtung: \(\binom{0{,}6}{0{,}8}\)

Verschiebungsvektor der Länge 7: \(7 \cdot \binom{0{,}6}{0{,}8} = \binom{4{,}2}{5{,}6}\)

Zielpunkt: \(P = A + \binom{4{,}2}{5{,}6} = (6{,}2 \mid 6{,}6)\). Probe: \(|\overrightarrow{AP}| = \sqrt{4{,}2^2 + 5{,}6^2} = \sqrt{17{,}64 + 31{,}36} = \sqrt{49} = 7\)

Ohne Einheitsvektor müsste man den Streckfaktor erst aus \(|k \cdot \vec{a}| = 7\) ausrechnen. Mit ihm ist die Rechnung eine Multiplikation.

Normalvektor: rechtwinkelig zu einem Vektor

Zwei Vektoren stehen normal (orthogonal, rechtwinkelig) aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ist. Ein Normalvektor zu \(\vec{a}\) ist jeder Vektor \(\vec{n} \neq \vec{o}\) mit \(\vec{a} \cdot \vec{n} = 0\). In der Ebene findet man ihn ohne Rechnung: Komponenten vertauschen, bei einer das Vorzeichen ändern.

Normalvektor in \(\mathbb{R}^2\)

\(\vec{a} = \binom{a_1}{a_2} \quad\Rightarrow\quad \vec{n} = \binom{-a_2}{a_1} \;\text{ oder }\; \vec{n} = \binom{a_2}{-a_1}\)

Probe: \(a_1 \cdot (-a_2) + a_2 \cdot a_1 = 0\). Beide Varianten sind richtig, sie zeigen in entgegengesetzte Richtungen.

a und n stehen normal aufeinander. Die Punkte markieren die Einheitsvektoren a₀ und n₀ mit Länge 1.

Beispiel 4: Normalvektor zu \(\vec{a} = \binom{3}{4}\)

Vertauschen: \(\binom{4}{3}\). Vorzeichen bei einer Komponente ändern: \(\vec{n} = \binom{-4}{3}\)

Probe mit dem Skalarprodukt: \(3 \cdot (-4) + 4 \cdot 3 = -12 + 12 = 0\)

Auch \(\binom{4}{-3}\), \(\binom{-8}{6}\) oder \(\binom{2}{-1{,}5}\) sind Normalvektoren: Alle Normalvektoren zu \(\vec{a}\) sind zueinander parallel und unterscheiden sich nur in Länge und Orientierung.

Vorsicht bei zwei Verwechslungen: \(\binom{4}{3}\) (nur vertauscht) ist kein Normalvektor, das Skalarprodukt ist \(12 + 12 = 24\). Und \(\binom{-3}{-4}\) (beide Vorzeichen geändert, nicht vertauscht) ist nur der Gegenvektor \(-\vec{a}\), er liegt auf derselben Geraden.

Einheitsnormalvektor

Beides zusammen ergibt den Einheitsnormalvektor \(\vec{n}_0\): normal auf \(\vec{a}\) und Länge 1. Für \(\vec{a} = \binom{3}{4}\) ist \(\vec{n} = \binom{-4}{3}\) mit \(|\vec{n}| = 5\), also \(\vec{n}_0 = \binom{-0{,}8}{0{,}6}\). Er wird in der 5. Klasse beim Abstand eines Punktes von einer Geraden gebraucht: Der Abstand ist der Betrag des Skalarprodukts \(\overrightarrow{AP} \cdot \vec{n}_0\), wobei \(A\) ein beliebiger Punkt der Geraden ist - weil \(\vec{n}_0\) die Länge 1 hat, muss man durch nichts mehr dividieren.

Normalvektor und Gerade

Eine Gerade in der Ebene ist durch einen Punkt und einen Normalvektor festgelegt. Aus \(\vec{n} = \binom{n_1}{n_2}\) wird die Gleichung \(n_1 x + n_2 y = c\), und \(c\) erhält man durch Einsetzen des Punktes.

Beispiel 5: Gerade durch \(P = (1 \mid 2)\) mit Richtungsvektor \(\binom{3}{4}\)

Normalvektor zum Richtungsvektor: \(\vec{n} = \binom{-4}{3}\), also \(g: -4x + 3y = c\)

\(P\) einsetzen: \(-4 \cdot 1 + 3 \cdot 2 = 2\), also \(g: -4x + 3y = 2\)

Probe mit einem zweiten Punkt der Geraden, \(Q = P + \binom{3}{4} = (4 \mid 6)\): \(-16 + 18 = 2\)

Umgekehrt liest man aus \(-4x + 3y = 2\) sofort den Normalvektor \(\binom{-4}{3}\) ab und daraus mit der Vertauschregel einen Richtungsvektor \(\binom{3}{4}\). Die Umrechnung zwischen den Darstellungen steht unter Normalvektordarstellung.

Beispiel 6: Hat das Dreieck \(A = (1 \mid 1)\), \(B = (4 \mid 2)\), \(C = (3 \mid 5)\) bei \(B\) einen rechten Winkel?

\(\overrightarrow{BA} = A - B = \binom{-3}{-1}\), \(\overrightarrow{BC} = C - B = \binom{-1}{3}\)

Skalarprodukt: \((-3) \cdot (-1) + (-1) \cdot 3 = 3 - 3 = 0\). Ja, bei \(B\) ist ein rechter Winkel.

Und im Raum?

Die Vertauschregel gilt nur in der Ebene. Zu einem Vektor im Raum gibt es unendlich viele Richtungen, die normal auf ihn stehen - sie bilden eine ganze Ebene. Eindeutig wird es erst, wenn man einen Vektor sucht, der auf zwei Vektoren normal steht; das leistet in der 6. Klasse das Kreuzprodukt. Das Normieren funktioniert im Raum genauso wie in der Ebene, nur mit drei Komponenten unter der Wurzel. Für die Matura gilt: AG 3.5 verlangt Normalvektoren ausschließlich in \(\mathbb{R}^2\).

Die häufigsten Fehler

Normal und normiert verwechselt: Ein normierter Vektor hat Länge 1 (Einheitsvektor). Ein Normalvektor steht rechtwinkelig. Zwei verschiedene Dinge, die sich nur im Einheitsnormalvektor treffen.
Durch eine Komponente statt durch den Betrag dividiert: \(\binom{3}{4} : 4 = \binom{0{,}75}{1}\) hat nicht die Länge 1. Normiert wird immer mit \(|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}\).
Nur vertauscht, kein Vorzeichen geändert: \(\binom{4}{3}\) ist kein Normalvektor zu \(\binom{3}{4}\). Die Probe mit dem Skalarprodukt dauert fünf Sekunden.
Beide Vorzeichen geändert: \(\binom{-3}{-4}\) ist der Gegenvektor, nicht normal.
Vertauschregel im Raum angewendet: Bei drei Komponenten gibt es keine „eine" Vertauschung. Dort wird das Skalarprodukt null gesetzt oder das Kreuzprodukt verwendet.
Gerundet und dann weitergerechnet: \(\frac{1}{\sqrt{29}}\) stehen lassen, erst das Endergebnis runden.