Bogenmaß - Erklärung & Beispiele

Was ist das Bogenmaß?

Beim Bogenmaß wird ein Winkel durch die Länge des Kreisbogens auf dem Einheitskreis definiert, den der Winkel überstreicht.

Definition: Das Bogenmaß eines Winkels ist die Länge des zugehörigen Kreisbogens auf einem Kreis mit Radius 1 (dem Einheitskreis). Die Einheit heißt Radiant (rad).

Da der Umfang des Einheitskreises \(2\pi \cdot 1 = 2\pi\) beträgt, entspricht ein Vollwinkel (360°) genau \(2\pi\) rad. Ein halber Kreis (180°) entspricht \(\pi\) rad.

Grundlegende Beziehung

\(360° = 2\pi \text{ rad} \qquad \Leftrightarrow \qquad 180° = \pi \text{ rad}\)

Umrechnung: Grad und Bogenmaß

Aus der Beziehung \(180° = \pi\) rad lassen sich die Umrechnungsformeln ableiten:

Grad → Bogenmaß

\(\text{rad} = \frac{\pi}{180°} \cdot \text{deg}\)

Multipliziere den Gradwert mit \(\frac{\pi}{180}\)

Bogenmaß → Grad

\(\text{deg} = \frac{180°}{\pi} \cdot \text{rad}\)

Multipliziere den Radiantwert mit \(\frac{180}{\pi}\)

Beispiel: 45° in Bogenmaß umrechnen

Formel: \(\text{rad} = \frac{\pi}{180°} \cdot 45°\)

Kürzen: \(\text{rad} = \frac{45\pi}{180} = \frac{\pi}{4}\)

Beispiel: \(\frac{2\pi}{3}\) rad in Grad umrechnen

Formel: \(\text{deg} = \frac{180°}{\pi} \cdot \frac{2\pi}{3}\)

\(\pi\) kürzen: \(\text{deg} = \frac{180° \cdot 2}{3} = 120°\)

Wichtige Winkel im Bogenmaß

Diese Winkel solltest du auswendig kennen:

Grad	Bogenmaß	Dezimal (gerundet)
0°	\(0\)	0
30°	\(\frac{\pi}{6}\)	0,524
45°	\(\frac{\pi}{4}\)	0,785
60°	\(\frac{\pi}{3}\)	1,047
90°	\(\frac{\pi}{2}\)	1,571
120°	\(\frac{2\pi}{3}\)	2,094
180°	\(\pi\)	3,142
270°	\(\frac{3\pi}{2}\)	4,712
360°	\(2\pi\)	6,283

Merktrick: Bei allen wichtigen Winkeln ist der Nenner ein Teiler von 6: \(\frac{\pi}{6}\), \(\frac{\pi}{4}\), \(\frac{\pi}{3}\), \(\frac{\pi}{2}\), \(\pi\). Der Zähler gibt an, wie viele „Stücke" du von \(\pi\) nimmst.

Warum braucht man das Bogenmaß?

In der höheren Mathematik wird fast ausschließlich das Bogenmaß verwendet, weil:

Ableitungen einfacher werden: Die Ableitung von \(\sin(x)\) ist nur dann \(\cos(x)\), wenn \(x\) im Bogenmaß angegeben ist.
Bogenlängenformel: Die Länge eines Kreisbogens ist \(b = r \cdot \alpha\) (mit \(\alpha\) im Bogenmaß) -- keine zusätzlichen Faktoren nötig.
Taschenrechner: Achte darauf, ob dein Taschenrechner auf DEG (Grad) oder RAD (Radiant) eingestellt ist!

Bogenlänge auf beliebigem Kreis

\(b = r \cdot \alpha\)

\(b\) = Bogenlänge, \(r\) = Radius, \(\alpha\) = Winkel im Bogenmaß

Achtung am Taschenrechner! Wenn du \(\sin(\pi)\) berechnest und 0 erhältst, ist dein Rechner auf RAD eingestellt. Wenn das Ergebnis nicht 0 ist, steht er auf DEG -- dann interpretiert er \(\pi\) als 3,14159° (ein winziger Winkel).

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