Warum der Einheitskreis?
Im rechtwinkligen Dreieck können Sinus, Cosinus und Tangens nur für Winkel zwischen 0° und 90° definiert werden. Der Einheitskreis erweitert diese Definitionen auf alle Winkel -- auch auf stumpfe Winkel, negative Winkel und Winkel größer als 360°.
Definition: Der Einheitskreis ist ein Kreis mit dem Mittelpunkt im Ursprung \((0|0)\) und dem Radius 1. Für einen Punkt \(P\) auf dem Einheitskreis gilt: \(\cos(\alpha)\) ist die x-Koordinate und \(\sin(\alpha)\) ist die y-Koordinate von \(P\).
Außerdem lernst du in diesem Kapitel das Bogenmaß als alternative Winkeleinheit kennen, sowie den Sinussatz und Cosinussatz, mit denen du beliebige Dreiecke lösen kannst.
Alle Themen zum Einheitskreis
Bogenmaß
Winkel in Radiant messen und zwischen Grad und Bogenmaß umrechnen
Sinus & Cosinus am Einheitskreis
Die Koordinaten-Definition von sin und cos für alle Winkel
Winkel über 90°
Vorzeichen in den vier Quadranten und Referenzwinkel
Sinussatz
Dreiecke lösen mit dem Verhältnis Seite zu Sinus des Gegenwinkels
Cosinussatz
Die Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras für beliebige Dreiecke
Anwendungen in beliebigen Dreiecken
Strategien und Praxisaufgaben mit Sinussatz und Cosinussatz
Überblick: Was du lernst
| Thema | Kernidee | Wichtigste Formel |
|---|---|---|
| Bogenmaß | Alternative Winkeleinheit | \(\text{rad} = \frac{\pi}{180°} \cdot \text{deg}\) |
| Sin & Cos am Einheitskreis | Koordinaten-Definition | \(\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1\) |
| Winkel über 90° | Vorzeichen in Quadranten | ASTC-Regel |
| Sinussatz | Seite/Sinus = konstant | \(\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)}\) |
| Cosinussatz | Erweiterter Pythagoras | \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\gamma)\) |