Die Normalvektorform

Eine Ebene \(E\) kann durch einen Punkt \(A\) und einen Normalvektor \(\vec{n}\) beschrieben werden. Ein Punkt \(X\) liegt genau dann in der Ebene, wenn der Vektor \(\vec{AX}\) senkrecht auf \(\vec{n}\) steht:

Normalvektorform
\(E: \vec{n} \cdot (\vec{X} - \vec{a}) = 0\)

\(\vec{n}\) = Normalvektor, \(\vec{a}\) = Ortsvektor eines Ebenenpunkts

Normalvektor bestimmen

Den Normalvektor einer Ebene erhält man aus dem Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren: \(\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}\). Dieser Vektor steht senkrecht auf beiden Richtungsvektoren und damit senkrecht auf der Ebene.

Koordinatengleichung

Multipliziert man die Normalvektorform aus, erhält man die Koordinatengleichung:

Koordinatengleichung
\(E: n_1 \cdot x + n_2 \cdot y + n_3 \cdot z = d\)

mit \(d = \vec{n} \cdot \vec{a} = n_1 \cdot a_1 + n_2 \cdot a_2 + n_3 \cdot a_3\)

Die Koeffizienten \(n_1\), \(n_2\), \(n_3\) sind die Komponenten des Normalvektors. Man kann den Normalvektor also direkt aus der Koordinatengleichung ablesen.

Beispiel: Normalvektorform aufstellen

Bestimme die Koordinatengleichung der Ebene durch \(A(1|0|2)\) mit den Spannvektoren \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\).

1
\(\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \cdot (-1) - (-2) \cdot 2 \\ (-2) \cdot (-1) - 2 \cdot (-1) \\ 2 \cdot 2 - 1 \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}\)
2
\(d = \vec{n} \cdot \vec{a} = 3 \cdot 1 + 4 \cdot 0 + 5 \cdot 2 = 13\)
3
\(E: 3x + 4y + 5z = 13\)

Normalvektor aus dem Kreuzprodukt

Wenn die Ebene durch drei Punkte \(A\), \(B\), \(C\) gegeben ist, berechnet man den Normalvektor wie folgt:

Normalvektor aus drei Punkten
\(\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}\)
Beispiel: Ebene durch drei Punkte

Bestimme die Koordinatengleichung der Ebene durch \(A(1|0|0)\), \(B(0|1|0)\), \(C(0|0|1)\).

1
\(\vec{AB} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)
2
\(\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)
3
\(d = \vec{n} \cdot \vec{a} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 = 1\)
4
\(E: x + y + z = 1\)

Punktprobe mit der Koordinatengleichung

Die Punktprobe ist bei der Koordinatengleichung besonders einfach: Man setzt die Koordinaten ein und prüft, ob die Gleichung erfüllt ist.

Vorteil: Die Koordinatengleichung erfordert bei der Punktprobe kein Gleichungssystem, sondern nur einfaches Einsetzen. Das ist ein großer Vorteil gegenüber der Parameterdarstellung.

Übungen

Aufgabe 1 Leicht

Wie lautet der Normalvektor der Ebene \(E: 2x - 3y + z = 5\)?

Aufgabe 2 Leicht

Liegt der Punkt \(P(1|1|3)\) in der Ebene \(E: x + y + z = 5\)?

Aufgabe 3 Mittel

Bestimme den Normalvektor der Ebene mit \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\).

Aufgabe 4 Mittel

Bestimme die Koordinatengleichung der Ebene durch \(A(2|0|0)\), \(B(0|3|0)\), \(C(0|0|6)\).

Aufgabe 5 Schwer

Bestimme die Koordinatengleichung der Ebene durch \(A(1|2|3)\) mit Normalvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}\).

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