Lagebeziehungen von Ebenen - Erklärung & Beispiele

Überblick der Lagebeziehungen

Für zwei Ebenen \(E_1: \vec{n}_1 \cdot \vec{X} = d_1\) und \(E_2: \vec{n}_2 \cdot \vec{X} = d_2\) gibt es drei Fälle:

Identisch: Beide Gleichungen beschreiben dieselbe Ebene

Parallel: Die Ebenen haben keinen gemeinsamen Punkt

Schneidend: Die Ebenen schneiden sich in einer Geraden (Schnittgerade)

Prüfverfahren mit Normalvektoren

Fallunterscheidung

Sind \(\vec{n}_1\) und \(\vec{n}_2\) nicht kollinear (\(\vec{n}_1 \times \vec{n}_2 \neq \vec{0}\)): schneidend

Sind \(\vec{n}_1\) und \(\vec{n}_2\) kollinear (\(\vec{n}_1 = k \cdot \vec{n}_2\)): parallel oder identisch

Parallel oder identisch?

Wenn die Normalvektoren kollinear sind, prüft man, ob auch die rechten Seiten im gleichen Verhältnis stehen. Gilt \(\frac{d_1}{d_2} = k\) (mit \(\vec{n}_1 = k \cdot \vec{n}_2\)), sind die Ebenen identisch. Andernfalls sind sie parallel.

Beispiel: Lagebeziehung bestimmen

Bestimme die Lagebeziehung von \(E_1: 2x + y - z = 3\) und \(E_2: 4x + 2y - 2z = 6\).

\(\vec{n}_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\), \(\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} = 2 \cdot \vec{n}_1\), also kollinear mit \(k = 2\)

Verhältnis der rechten Seiten: \(\frac{d_2}{d_1} = \frac{6}{3} = 2 = k\)

Die Ebenen sind identisch.

Schnittgerade berechnen

Wenn zwei Ebenen sich schneiden, berechnet man die Schnittgerade, indem man das Gleichungssystem der beiden Ebenengleichungen löst:

Richtungsvektor der Schnittgerade

\(\vec{v} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2\)

Der Richtungsvektor steht senkrecht auf beiden Normalvektoren

Beispiel: Schnittgerade berechnen

Berechne die Schnittgerade von \(E_1: x + y + z = 1\) und \(E_2: x - y + z = 1\).

Richtungsvektor: \(\vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}\), vereinfacht: \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\)

Punkt auf der Geraden (setze \(z = 0\)): \(x + y = 1\) und \(x - y = 1\), also \(x = 1\), \(y = 0\)

\(g: \vec{X} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\)

Schnittwinkel zweier Ebenen

Der Schnittwinkel zweier Ebenen ist der Winkel zwischen ihren Normalvektoren:

Schnittwinkel

\(\cos(\alpha) = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|}\)

Der Betrag sorgt dafür, dass immer der spitze Winkel berechnet wird.

Tipp: Zwei Ebenen stehen senkrecht aufeinander, wenn \(\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0\) gilt. Dann ist der Schnittwinkel \(90°\).