Der Umkreis
Der Umkreis geht durch alle drei Eckpunkte. Sein Mittelpunkt U muss also von A, B und C gleich weit entfernt sein. Genau diese Eigenschaft haben die Punkte der Streckensymmetrale: Jeder Punkt der Symmetrale von AB ist von A und B gleich weit entfernt, jeder Punkt der Symmetrale von BC von B und C. Der Schnittpunkt der beiden ist von allen drei Ecken gleich weit entfernt - das ist U.
Umkreisradius: Abstand von U zu einem beliebigen Eckpunkt
Wo U liegt, hängt von der Dreiecksform ab:
| Dreieck | Lage des Umkreismittelpunkts |
|---|---|
| spitzwinkelig | im Inneren |
| rechtwinkelig | genau in der Mitte der Hypotenuse |
| stumpfwinkelig | außerhalb, gegenüber dem stumpfen Winkel |
Der rechtwinkelige Fall ist der Thaleskreis: Der Umkreis hat die Hypotenuse als Durchmesser. Beim Dreieck mit 6 cm, 8 cm und 10 cm ist der Umkreisradius deshalb 10 : 2 = 5 cm, ohne Konstruktion.
Eine Anwendung aus dem Alltag: Drei Gemeinden wollen einen gemeinsamen Sportplatz, der von allen drei Ortszentren gleich weit entfernt ist. Der Platz gehört in den Umkreismittelpunkt des Dreiecks aus den drei Ortszentren.
Der Inkreis
Der Inkreis berührt alle drei Seiten von innen. Sein Mittelpunkt I muss also von allen drei Seiten denselben Normalabstand haben. Das leisten die Winkelsymmetralen: Jeder Punkt der Winkelsymmetrale bei A ist von den Seiten b und c gleich weit entfernt, jeder Punkt der Symmetrale bei B von a und c. Ihr Schnittpunkt ist von allen drei Seiten gleich weit entfernt - das ist I.
Inkreisradius: Normalabstand von I zu einer Seite
Anders als der Umkreismittelpunkt liegt der Inkreismittelpunkt bei jedem Dreieck im Inneren, weil alle drei Winkelsymmetralen im Dreieck verlaufen.
Den Inkreisradius berechnen
Verbindet man I mit den drei Ecken, zerfällt das Dreieck in drei kleinere Dreiecke. Jedes hat eine Seite des großen Dreiecks als Grundlinie und den Inkreisradius r als Höhe, weil r der Normalabstand von I zu jeder Seite ist. Zusammen ergeben sie die ganze Fläche:
u = a + b + c ist der Umfang
Sonderfall gleichseitiges Dreieck
Im gleichseitigen Dreieck sind Streckensymmetralen, Winkelsymmetralen, Schwerlinien und Höhen dieselben drei Linien. Umkreismittelpunkt, Inkreismittelpunkt und Schwerpunkt fallen in einen Punkt zusammen. Weil der Schwerpunkt jede Höhe im Verhältnis 2:1 teilt, ist der Umkreisradius doppelt so groß wie der Inkreisradius. Bei der Seitenlänge 6 cm ist die Höhe 5,20 cm, der Umkreisradius zwei Drittel davon (3,46 cm) und der Inkreisradius ein Drittel (1,73 cm).
Umkreis und Inkreis im Vergleich
| Umkreis | Inkreis | |
|---|---|---|
| Mittelpunkt aus | Streckensymmetralen | Winkelsymmetralen |
| Gleich weit entfernt von | den drei Eckpunkten | den drei Seiten |
| Radius | Abstand U zu einem Eckpunkt | Normalabstand I zu einer Seite |
| Lage des Mittelpunkts | innen, auf der Hypotenuse oder außen | immer innen |
| In Deutschland | Mittelsenkrechten | Winkelhalbierende |
Häufige Fehler
- Symmetralen vertauscht: Für den Umkreis braucht man Strecken-, für den Inkreis Winkelsymmetralen. Merkhilfe: Der Umkreis geht durch die Ecken, also braucht man den gleichen Abstand zu Punkten, und das leisten die Streckensymmetralen.
- Inkreisradius bis zur Ecke gemessen: Der Radius ist der Normalabstand zur Seite, also die Länge des Lots - nicht der Abstand von I zu A.
- Umkreis im stumpfwinkeligen Dreieck „nicht gefunden": U liegt dort außerhalb. Die Symmetralen weit genug verlängern.
- Mit dem Schwerpunkt verwechselt: Der Schwerpunkt kommt von den Schwerlinien, nicht von den Symmetralen.
Übungen
Der Umkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der
Was berührt der Inkreis?
Wo liegt der Umkreismittelpunkt eines rechtwinkeligen Dreiecks?
Ein rechtwinkeliges Dreieck hat die Hypotenuse 13 cm. Wie groß ist der Umkreisradius?
Ein Dreieck hat die Seiten 5 cm, 12 cm und 13 cm und die Fläche 30 cm². Wie groß ist der Inkreisradius?
Drei Gemeinden wollen einen Sportplatz, der von allen drei Ortszentren gleich weit entfernt ist. Wohin gehört er?
Ein gleichseitiges Dreieck hat den Inkreisradius 2 cm. Wie groß ist der Umkreisradius?