Definition und Eigenschaften

Winkelsymmetrale
Der Strahl vom Scheitel aus, der den Winkel in zwei gleich große Teilwinkel teilt

Jeder Punkt der Winkelsymmetrale hat zu beiden Schenkeln denselben Normalabstand

WinkelsymmetraleStreckensymmetrale
Bezieht sich aufeinen Winkeleine Strecke
Gleicher Abstand zuden beiden Schenkelnden beiden Endpunkten
Im DreieckInkreismittelpunktUmkreismittelpunkt
In DeutschlandWinkelhalbierendeMittelsenkrechte

Konstruktion mit Zirkel und Lineal

Winkel mit Scheitel S und Schenkeln a und b halbieren
1
Kreisbogen um S: Zirkel in den Scheitel einstechen, beliebiger Radius. Der Bogen schneidet die Schenkel in A und B.
2
Kreisbogen um A: Zirkel in A einstechen, Radius so wählen, dass der Bogen ins Innere des Winkels reicht.
3
Kreisbogen um B: Mit demselben Radius wie in Schritt 2. Die beiden Bögen schneiden einander im Punkt P.
4
Strahl von S durch P: Das ist die Winkelsymmetrale.
SAB P ab
Bogen um S liefert A und B; gleich große Bögen um A und B liefern P. Der Strahl SP ist die Winkelsymmetrale.

Die Radien in Schritt 2 und 3 müssen gleich sein. Der Radius in Schritt 1 ist frei wählbar; er bestimmt nur, wo A und B auf den Schenkeln liegen.

Warum das funktioniert: A und B sind gleich weit von S entfernt (Schritt 1), und P ist gleich weit von A und von B entfernt (Schritte 2 und 3). Die Dreiecke SAP und SBP stimmen in allen drei Seiten überein, sind also kongruent, und deshalb sind die Winkel bei S gleich groß.

Mit dem Geodreieck

Winkel messen und halbieren
1
Winkel mit dem Geodreieck messen, zum Beispiel 80°.
2
Die Hälfte berechnen: 80° : 2 = 40°.
3
40° von einem Schenkel aus abtragen und den Strahl vom Scheitel durch die Markierung zeichnen.

Gemessen wird nur bei „zeichne", nicht bei „konstruiere". Bei krummen Winkelgrößen wie 73° ist die Zirkelkonstruktion außerdem genauer als 36,5° am Geodreieck.

Anwendung: Inkreis eines Dreiecks

Inkreismittelpunkt
Die drei Winkelsymmetralen eines Dreiecks schneiden einander in einem Punkt, dem Inkreismittelpunkt I
Inkreis konstruieren
1
Winkelsymmetrale des Winkels α bei A konstruieren
2
Winkelsymmetrale des Winkels β bei B konstruieren
3
Der Schnittpunkt ist I. Die dritte Symmetrale muss ebenfalls durch I gehen - das ist die Kontrolle.
4
Von I das Lot auf eine Seite fällen. Die Länge des Lots ist der Inkreisradius r; Kreis um I mit r zeichnen.

Der Kreis berührt alle drei Seiten, weil I auf jeder Winkelsymmetrale liegt und damit zu allen drei Seiten denselben Normalabstand hat. Anders als der Umkreismittelpunkt liegt der Inkreismittelpunkt immer im Inneren des Dreiecks. Mehr unter Umkreis und Inkreis.

Häufige Fehler

  • Verschiedene Radien um A und B: Dann liegt P nicht auf der Symmetrale. Den Zirkel zwischen den beiden Bögen nicht verstellen.
  • Bogen trifft nur einen Schenkel: Der erste Bogen um S muss beide Schenkel schneiden, sonst fehlt A oder B.
  • Strahl nicht vom Scheitel aus: Die Winkelsymmetrale beginnt in S und geht durch P, nicht umgekehrt irgendwo durch P.
  • Mit der Streckensymmetrale verwechselt: Winkelsymmetrale führt zum Inkreis, Streckensymmetrale zum Umkreis.
  • Inkreisradius geschätzt: Der Radius ist der Normalabstand von I zu einer Seite, also die Länge des Lots - nicht der Abstand zu einem Eckpunkt.

Übungen

Aufgabe 1Leicht

Ein Winkel von 90° wird halbiert. Wie groß ist jeder Teilwinkel?

Aufgabe 2Leicht

Wie heißt die Winkelsymmetrale in deutschen Schulbüchern?

Aufgabe 3Mittel

Was muss bei der Konstruktion gleich sein?

Aufgabe 4Mittel

Die drei Winkelsymmetralen eines Dreiecks treffen einander im

Aufgabe 5Schwer

Was gilt für jeden Punkt P auf der Winkelsymmetrale?

Aufgabe 6Schwer

Wie viele Winkelsymmetralen braucht man mindestens für den Inkreismittelpunkt?

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