Schwerpunkt im Dreieck: Schwerlinien, Teilungsverhältnis 2:1, Berechnung

Was eine Schwerlinie ist

Eine Schwerlinie verbindet einen Eckpunkt des Dreiecks mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite. Jedes Dreieck hat drei davon; man bezeichnet sie nach der Seite, die sie halbieren: \(s_a\) geht von A zum Mittelpunkt der Seite a, \(s_b\) von B zum Mittelpunkt von b, \(s_c\) von C zum Mittelpunkt von c.

Der Name kommt aus der Physik: Ein Kartondreieck lässt sich auf jeder Schwerlinie balancieren, wenn man es auf eine Linealkante legt. Hängt man es an einem Eckpunkt auf, hängt die Schwerlinie von diesem Eckpunkt genau lotrecht nach unten. In deutschen Schulbüchern heißt dieselbe Strecke Seitenhalbierende - der Name beschreibt, dass sie die gegenüberliegende Seite halbiert.

Nicht verwechseln: Die Streckensymmetrale geht auch durch den Seitenmittelpunkt, steht aber normal auf der Seite und führt nicht zum gegenüberliegenden Eckpunkt. Schwerlinie und Streckensymmetrale fallen nur im gleichschenkeligen Dreieck auf der Symmetrieachse zusammen.

Den Schwerpunkt konstruieren

Schwerpunkt S des Dreiecks ABC

Den Mittelpunkt einer Seite bestimmen, zum Beispiel \(M_c\) auf der Seite AB. Mit dem Zirkel geht das über die Streckensymmetrale, mit dem Geodreieck durch Messen und Halbieren.

C mit \(M_c\) verbinden: Das ist die Schwerlinie \(s_c\).

Dasselbe für eine zweite Seite: \(M_a\) auf BC bestimmen und mit A verbinden.

Der Schnittpunkt der beiden Schwerlinien ist S. Die dritte Schwerlinie muss ebenfalls durch S gehen - das ist die Kontrolle für genaues Zeichnen.

Die drei Schwerlinien laufen von den Ecken zu den Seitenmittelpunkten und schneiden einander im Schwerpunkt S.

Teilungsverhältnis 2:1

Der Schwerpunkt liegt nicht in der Mitte der Schwerlinie, sondern teilt sie im Verhältnis 2:1: Das Stück vom Eckpunkt bis S ist doppelt so lang wie das Stück von S bis zum Seitenmittelpunkt. Anders gesagt liegt S bei zwei Dritteln der Schwerlinie, vom Eckpunkt aus gemessen.

Beispiel: Die Schwerlinie \(s_a\) ist 9 cm lang

Drei gleiche Teile: \(9 : 3 = 3\) cm

Von A bis S: zwei Teile, also 6 cm. Von S bis \(M_a\): ein Teil, also 3 cm.

Daraus folgt, dass der Schwerpunkt immer im Inneren des Dreiecks liegt, egal ob es spitz-, recht- oder stumpfwinkelig ist: Jede Schwerlinie verläuft ganz im Dreieck, und S liegt auf ihr. Beim Umkreismittelpunkt und beim Höhenschnittpunkt ist das anders.

Schwerpunkt mit Koordinaten berechnen

Sind die Eckpunkte als Koordinaten gegeben, braucht man keine Zeichnung. Der Schwerpunkt ist der Mittelwert der drei Eckpunkte: Man addiert die x-Koordinaten und dividiert durch 3, ebenso die y-Koordinaten. Diese Formel kommt in der 5. Klasse mit den Vektoren dazu.

Schwerpunkt

\(S = \left(\dfrac{x_A + x_B + x_C}{3} \;\middle|\; \dfrac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)\)

Beispiel: \(A = (1 \mid 2)\), \(B = (7 \mid 4)\), \(C = (4 \mid 9)\)

x-Koordinate: \(\frac{1 + 7 + 4}{3} = \frac{12}{3} = 4\)

y-Koordinate: \(\frac{2 + 4 + 9}{3} = \frac{15}{3} = 5\). Also \(S = (4 \mid 5)\).

Probe mit dem Verhältnis 2:1: Der Mittelpunkt von BC ist \(M_a = (5{,}5 \mid 6{,}5)\). Von A bis \(M_a\) sind es 4,5 nach rechts und 4,5 nach oben; zwei Drittel davon sind 3 und 3. \(A + (3 \mid 3) = (4 \mid 5)\) - derselbe Punkt.

Die vier merkwürdigen Punkte im Vergleich

Österreichische Schulbücher fassen vier besondere Punkte des Dreiecks unter dem Namen „merkwürdige Punkte" zusammen. Jeder entsteht als Schnittpunkt von drei Linien einer Sorte:

Punkt	Schnittpunkt der	Lage	Bedeutung
Schwerpunkt S	Schwerlinien	immer innen	Gleichgewichtspunkt
Umkreismittelpunkt U	Streckensymmetralen	innen, auf der Hypotenuse oder außen	gleich weit von allen Ecken
Inkreismittelpunkt I	Winkelsymmetralen	immer innen	gleich weit von allen Seiten
Höhenschnittpunkt H	Höhen	innen, im Eckpunkt oder außen	-

Im gleichseitigen Dreieck fallen alle vier Punkte zusammen. Der Lehrplan der 2. Klasse nennt das Konstruieren dieser besonderen Punkte als Ergänzungsstoff, die Strecken- und Winkelsymmetralen selbst als Pflichtstoff.

Die Eulersche Gerade

Drei der vier Punkte liegen in jedem Dreieck auf einer gemeinsamen Geraden: Höhenschnittpunkt H, Schwerpunkt S und Umkreismittelpunkt U. Sie heißt Eulersche Gerade, nach dem Mathematiker Leonhard Euler. Und auch hier taucht das Verhältnis 2:1 auf: S liegt zwischen H und U, doppelt so weit von H entfernt wie von U.

Nachrechnen am rechtwinkeligen Dreieck \(A = (0 \mid 0)\), \(B = (8 \mid 0)\), \(C = (0 \mid 6)\)

Der rechte Winkel liegt bei A, dort treffen einander die Höhen: \(H = (0 \mid 0)\).

Schwerpunkt: \(S = \left(\frac{8}{3} \mid 2\right)\). Umkreismittelpunkt: Mitte der Hypotenuse BC, also \(U = (4 \mid 3)\).

Von H nach U geht es 4 nach rechts und 3 nach oben. \(S = \left(\frac{8}{3} \mid 2\right)\) ist genau zwei Drittel dieses Weges. Die drei Punkte liegen auf einer Geraden, und HS ist doppelt so lang wie SU.

Der Inkreismittelpunkt liegt im Allgemeinen nicht auf dieser Geraden - hier bei \((2 \mid 2)\), und der Punkt liegt nicht auf der Strecke von H nach U.

Häufige Fehler

Schwerlinie mit Streckensymmetrale verwechselt: Die Schwerlinie geht zum gegenüberliegenden Eckpunkt, die Streckensymmetrale steht normal auf der Seite.
Mittelpunkt geschätzt: Ein ungenauer Seitenmittelpunkt verschiebt die Schwerlinie, und die drei Linien treffen einander nicht mehr in einem Punkt.
Verhältnis umgedreht: Der längere Teil liegt beim Eckpunkt. Bei 9 cm sind es 6 cm von der Ecke bis S, nicht 3 cm.
Durch 2 statt durch 3 dividiert: \(\frac{x_A + x_B}{2}\) ist der Mittelpunkt einer Seite, nicht der Schwerpunkt. Beim Schwerpunkt kommen alle drei Eckpunkte vor.
Vorzeichen vergessen: Bei negativen Koordinaten wie \(A = (-2 \mid 1)\) die Minuszeichen mitaddieren.

Schwerpunkt im Dreieck und Schwerlinien