Lot fällen und Normale errichten: Konstruktion mit Zirkel

Lot, Normale, Lotfußpunkt, Normalabstand

Begriff	Bedeutung
Normale auf g	Eine Gerade, die mit g einen rechten Winkel (90°) bildet
Lot von P auf g	Die Strecke von P bis zur Geraden g entlang der Normalen
Lotfußpunkt F	Der Punkt, in dem das Lot auf g trifft
Normalabstand	Die Länge PF, also der kürzeste Abstand von P zu g

Der Lehrplan der 1. Klasse verlangt bereits, Konstruktionsaufgaben „mit parallelen bzw. normalen Geraden" zu lösen und den Abstand eines Punktes von einer Geraden zu ermitteln. In der 2. Klasse kommen die Symmetralen und die Höhen im Dreieck dazu, die beide auf dem Lot aufbauen.

Lot fällen mit Zirkel und Lineal

Lot von P auf die Gerade g

Kreisbogen um P: Zirkel in P einstechen, Radius so groß wählen, dass der Bogen die Gerade g in zwei Punkten A und B schneidet.

Bogen um A: Zirkel in A einstechen, Radius größer als die halbe Strecke AB, Bogen auf der Seite von g, die P gegenüberliegt.

Bogen um B: Mit demselben Radius. Die beiden Bögen schneiden einander in Q.

Gerade durch P und Q: Das ist die Normale auf g durch P. Ihr Schnittpunkt mit g ist der Lotfußpunkt F, die Strecke PF das Lot.

Der Bogen um P liefert A und B, die gleich großen Bögen um A und B liefern Q. Die Strecke PF ist das Lot.

Warum das funktioniert: A und B sind gleich weit von P entfernt (Schritt 1), und Q ist gleich weit von A und B entfernt (Schritte 2 und 3). P und Q liegen damit beide auf der Streckensymmetrale von AB, und die steht normal auf AB, also auf g.

Ist der Radius in Schritt 1 zu klein, erreicht der Bogen die Gerade nicht oder berührt sie nur in einem Punkt. Dann den Zirkel weiter öffnen.

Mit dem Geodreieck

Normale durch P mit dem Geodreieck

Die Mittellinie des Geodreiecks (die Linie durch den Nullpunkt, normal zur langen Kante) auf die Gerade g legen.

Das Geodreieck entlang g verschieben, bis die lange Kante durch P geht.

Entlang der langen Kante von P bis g zeichnen.

Das Geodreieck ist schneller, aber es misst nur. Wenn eine Aufgabe „konstruiere" verlangt, ist der Zirkel gemeint.

Normale in einem Punkt der Geraden errichten

Liegt P auf der Geraden g, ist die Aufgabe eine andere: Man „errichtet" die Normale in P.

Normale auf g im Punkt P errichten

Zirkel in P einstechen und auf beiden Seiten von P gleich lange Strecken auf g abtragen: Punkte A und B.

Um A und um B Bögen mit demselben, größeren Radius zeichnen. Sie schneiden einander in Q.

Die Gerade durch P und Q ist die Normale auf g in P.

Beides ist im Grunde dieselbe Konstruktion: In beiden Fällen entsteht auf g eine Strecke AB, deren Streckensymmetrale die gesuchte Normale ist. Beim Errichten ist P der Mittelpunkt von AB, beim Fällen liegt P außerhalb.

Warum das Lot der kürzeste Weg ist

Nimmt man statt des Lots irgendeinen anderen Weg von P zur Geraden, etwa nach A, entsteht das rechtwinkelige Dreieck PFA mit dem rechten Winkel bei F. PA ist darin die Hypotenuse, und die Hypotenuse ist immer länger als jede Kathete - auch länger als PF. Nach dem Satz des Pythagoras gilt \(PA^2 = PF^2 + FA^2\), und weil \(FA^2\) positiv ist, ist PA größer als PF. Liegt P 4,5 cm über g und A 3,16 cm neben F, dann ist PA \(= \sqrt{4{,}5^2 + 3{,}16^2} \approx 5{,}5\) cm, also länger als das Lot mit 4,5 cm.

Wofür man das Lot braucht

Anwendung	Wo das Lot steckt
Abstand Punkt-Gerade	Der Normalabstand ist die Länge des Lots
Höhe im Dreieck	Jede Höhe ist das Lot von einem Eckpunkt auf die gegenüberliegende Seite
Fläche des Dreiecks	\(A = \frac{c \cdot h_c}{2}\) braucht die Höhe, also das Lot
Inkreis	Der Inkreisradius ist das Lot vom Inkreismittelpunkt auf eine Seite
Spiegeln an einer Geraden	Das Lot von P auf die Achse wird über F hinaus gleich weit verlängert

Häufige Fehler

Radius um P zu klein: Der Bogen muss g in zwei Punkten schneiden.
Ungleiche Radien um A und B: Dann liegt Q nicht auf der Normalen.
Fällen und Errichten verwechselt: Fällen: P liegt außerhalb von g. Errichten: P liegt auf g.
Abstand schräg gemessen: Der Abstand eines Punktes von einer Geraden ist immer der Normalabstand, nicht die Entfernung zu irgendeinem Punkt der Geraden.
Rechten Winkel nicht markiert: Der Bogen mit Punkt oder das kleine Quadrat bei F gehört in jede saubere Konstruktion.