Die Abstandsformel

Gegeben sind zwei Punkte \(A(x_1|y_1|z_1)\) und \(B(x_2|y_2|z_2)\) im \(\mathbb{R}^3\). Der Abstand \(d\) zwischen ihnen berechnet sich als:

Abstandsformel im R³
\(d(A, B) = |\vec{AB}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\)

Der Abstand entspricht dem Betrag des Verbindungsvektors \(\vec{AB}\).

Herleitung über Pythagoras

Die Formel ergibt sich durch zweimalige Anwendung des Satzes von Pythagoras:

Schritt für Schritt

1. In der \(xy\)-Ebene: \(d_{xy} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)

2. Mit der \(z\)-Komponente: \(d = \sqrt{d_{xy}^2 + (z_2 - z_1)^2}\)

Beispiel: Abstand zweier Punkte

Berechne den Abstand der Punkte \(A(1|2|3)\) und \(B(4|6|3)\).

1
Differenzen: \(x_2 - x_1 = 3\), \(y_2 - y_1 = 4\), \(z_2 - z_1 = 0\)
2
\(d = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16 + 0} = \sqrt{25} = 5\)

Der Abstand beträgt \(d = 5\) Längeneinheiten.

Beispiel: Abstand vom Ursprung

Berechne den Abstand des Punktes \(P(2|3|6)\) vom Ursprung \(O(0|0|0)\).

1
\(d = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7\)

Der Abstand beträgt \(d = 7\).

Mittelpunkt einer Strecke

Der Mittelpunkt \(M\) der Strecke \(\overline{AB}\) berechnet sich als:

Mittelpunktsformel
\(M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2} \middle| \frac{y_1 + y_2}{2} \middle| \frac{z_1 + z_2}{2}\right)\)

Tipp: Der Abstand ist immer nicht-negativ und symmetrisch: \(d(A, B) = d(B, A)\). Er ist genau dann Null, wenn die beiden Punkte identisch sind.

Übungen

Aufgabe 1 Leicht

Wie groß ist der Abstand der Punkte \(A(1|0|0)\) und \(B(0|1|0)\)?

Aufgabe 2 Mittel

Berechne den Abstand der Punkte \(P(3|1|2)\) und \(Q(1|5|4)\).

Aufgabe 3 Mittel

Welchen Abstand hat der Punkt \(P(1|2|2)\) vom Ursprung?

Aufgabe 4 Schwer

Die Punkte \(A(2|1|3)\) und \(B(4|5|1)\) sind Endpunkte einer Strecke. Welche Koordinaten hat der Mittelpunkt \(M\)?

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