Definition eines Vektors in R³

Ein Vektor in \(\mathbb{R}^3\) ist ein geordnetes Tripel aus drei reellen Zahlen. Man schreibt ihn als Spaltenvektor:

Vektor in R³
\(\vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}\)

\(a_1\) = x-Komponente, \(a_2\) = y-Komponente, \(a_3\) = z-Komponente

Im Vergleich zu \(\mathbb{R}^2\) kommt eine dritte Komponente hinzu, die die Verschiebung in \(z\)-Richtung (nach oben/unten) beschreibt.

Beispiel: Vektor im Raum

Der Vektor \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix}\) beschreibt eine Verschiebung um 3 Einheiten in \(x\)-Richtung, 2 Einheiten entgegen der \(y\)-Richtung und 5 Einheiten in \(z\)-Richtung.

Ortsvektoren und Verbindungsvektoren

Der Ortsvektor eines Punktes \(P(p_1 | p_2 | p_3)\) zeigt vom Ursprung \(O\) zum Punkt \(P\):

Ortsvektor
\(\vec{OP} = \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix}\)

Der Verbindungsvektor von Punkt \(A\) nach Punkt \(B\) berechnet sich als Differenz der Ortsvektoren:

Verbindungsvektor
\(\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \begin{pmatrix} b_1 - a_1 \\ b_2 - a_2 \\ b_3 - a_3 \end{pmatrix}\)

Spitze minus Schaft: Endpunkt minus Anfangspunkt

Beispiel: Verbindungsvektor berechnen

Gegeben: \(A(1|3|2)\) und \(B(4|1|5)\). Berechne \(\vec{AB}\).

1
\(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 4-1 \\ 1-3 \\ 5-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}\)

Betrag eines Vektors in R³

Der Betrag (die Länge) eines Vektors in \(\mathbb{R}^3\) wird mit dem erweiterten Satz des Pythagoras berechnet:

Betrag in R³
\(|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\)
Beispiel: Betrag berechnen

Berechne den Betrag von \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\).

1
\(|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3\)

Einheitsvektor

Ein Einheitsvektor hat den Betrag 1. Man erhält ihn, indem man einen Vektor durch seinen Betrag dividiert:

Einheitsvektor
\(\vec{a}^0 = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{1}{|\vec{a}|} \cdot \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}\)

Die Standardeinheitsvektoren in \(\mathbb{R}^3\) sind:

Standardbasis
\(\vec{e}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \vec{e}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \vec{e}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)

Tipp: Jeder Vektor in \(\mathbb{R}^3\) lässt sich als Linearkombination der Standardeinheitsvektoren schreiben: \(\vec{a} = a_1 \cdot \vec{e}_1 + a_2 \cdot \vec{e}_2 + a_3 \cdot \vec{e}_3\).

Visualisierung im Koordinatensystem

Im dreidimensionalen Koordinatensystem hat man drei Achsen, die paarweise senkrecht aufeinander stehen:

  • Die \(x\)-Achse zeigt nach rechts
  • Die \(y\)-Achse zeigt nach hinten (oder nach vorne, je nach Konvention)
  • Die \(z\)-Achse zeigt nach oben

Rechtssystem

In der Mathematik verwendet man ein Rechtssystem (Rechte-Hand-Regel): Wenn der Daumen der rechten Hand in \(x\)-Richtung zeigt und der Zeigefinger in \(y\)-Richtung, dann zeigt der Mittelfinger in \(z\)-Richtung.

Übungen

Aufgabe 1 Leicht

Berechne den Verbindungsvektor \(\vec{AB}\) für \(A(2|1|3)\) und \(B(5|4|1)\).

Aufgabe 2 Leicht

Berechne den Betrag von \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\).

Aufgabe 3 Mittel

Welchen Betrag hat der Verbindungsvektor von \(P(1|0|2)\) nach \(Q(3|2|4)\)?

Aufgabe 4 Schwer

Bestimme den Einheitsvektor in Richtung von \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\).

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