Warum braucht man Umkehrfunktionen?
Trigonometrische Funktionen ordnen einem Winkel einen Wert zu: \(\sin(30°) = 0{,}5\). Oft kennt man aber den Wert und sucht den Winkel: „Welcher Winkel hat den Sinus 0,5?"
Problem: Die Sinus-Funktion ist nicht bijektiv – zu jedem Funktionswert gibt es unendlich viele Winkel (z. B. \(\sin 30° = \sin 150° = 0{,}5\)). Deshalb muss man den Definitionsbereich einschränken, um eine Umkehrfunktion definieren zu können.
Arkussinus – \(\arcsin(x)\)
Die Umkehrfunktion des Sinus auf dem Intervall \(\left[-\frac{\pi}{2},\, \frac{\pi}{2}\right]\):
Definitionsmenge: \([-1,\, 1]\), Wertemenge: \(\left[-\frac{\pi}{2},\, \frac{\pi}{2}\right]\) (bzw. \([-90°,\, 90°]\))
- \(\arcsin(0) = 0\), denn \(\sin(0) = 0\)
- \(\arcsin(1) = \frac{\pi}{2} = 90°\), denn \(\sin(90°) = 1\)
- \(\arcsin\!\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6} = 30°\), denn \(\sin(30°) = \frac{1}{2}\)
- \(\arcsin\!\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\pi}{4} = -45°\), denn \(\sin(-45°) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)
Arkuskosinus – \(\arccos(x)\)
Die Umkehrfunktion des Kosinus auf dem Intervall \([0,\, \pi]\):
Definitionsmenge: \([-1,\, 1]\), Wertemenge: \([0,\, \pi]\) (bzw. \([0°,\, 180°]\))
- \(\arccos(1) = 0\), denn \(\cos(0) = 1\)
- \(\arccos(0) = \frac{\pi}{2} = 90°\), denn \(\cos(90°) = 0\)
- \(\arccos\!\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3} = 120°\), denn \(\cos(120°) = -\frac{1}{2}\)
Wichtiger Zusammenhang: \(\arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2}\) für alle \(x \in [-1, 1]\).
Arkustangens – \(\arctan(x)\)
Die Umkehrfunktion des Tangens auf dem Intervall \(\left(-\frac{\pi}{2},\, \frac{\pi}{2}\right)\):
Definitionsmenge: \(\mathbb{R}\), Wertemenge: \(\left(-\frac{\pi}{2},\, \frac{\pi}{2}\right)\) (bzw. \((-90°,\, 90°)\))
- \(\arctan(0) = 0\), denn \(\tan(0) = 0\)
- \(\arctan(1) = \frac{\pi}{4} = 45°\), denn \(\tan(45°) = 1\)
- \(\arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} = 60°\), denn \(\tan(60°) = \sqrt{3}\)
Tipp: Der Arkustangens wird häufig in der Praxis verwendet, z. B. zur Berechnung von Steigungswinkeln: Wenn eine Straße eine Steigung von 15 % hat, beträgt der Steigungswinkel \(\alpha = \arctan(0{,}15) \approx 8{,}53°\).
Zusammenfassung
| Funktion | Definitionsmenge | Wertemenge |
|---|---|---|
| \(\arcsin(x)\) | \([-1, 1]\) | \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\) |
| \(\arccos(x)\) | \([-1, 1]\) | \([0, \pi]\) |
| \(\arctan(x)\) | \(\mathbb{R}\) | \(\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\) |
Ableitungen der Arkusfunktionen (für die Analysis):
- \((\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\)
- \((\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\)
- \((\arctan x)' = \frac{1}{1 + x^2}\)
Übungen
Berechne \(\arcsin\!\left(\frac{1}{2}\right)\).
Was ist die Wertemenge von \(\arccos(x)\)?
Berechne \(\arccos\!\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\).
Welchen Wert hat \(\arctan(1) + \arctan(-1)\)?
Berechne \(\arcsin\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \arccos\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\).