Additionstheoreme für Sinus
Die folgenden Formeln beschreiben den Sinus einer Summe bzw. Differenz zweier Winkel:
\(\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cdot \cos\beta - \cos\alpha \cdot \sin\beta\)
\(\sin(75°) = \sin(45° + 30°)\)
\(= \sin 45° \cdot \cos 30° + \cos 45° \cdot \sin 30°\)
\(= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}\)
\(= \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0{,}9659\)
Additionstheoreme für Kosinus
\(\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cdot \cos\beta + \sin\alpha \cdot \sin\beta\)
Merkhilfe: Beim Sinus werden die Vorzeichen „beibehalten" (+ bleibt +, − bleibt −). Beim Kosinus werden sie „vertauscht" (+ wird −, − wird +).
\(\cos(15°) = \cos(45° - 30°)\)
\(= \cos 45° \cdot \cos 30° + \sin 45° \cdot \sin 30°\)
\(= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}\)
\(= \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0{,}9659\)
Beobachtung: \(\sin(75°) = \cos(15°)\) – das ist kein Zufall, denn \(\sin(90° - \alpha) = \cos(\alpha)\).
Additionstheorem für Tangens
\(\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha \cdot \tan\beta}\)
Gilt nur, wenn \(\tan\alpha \cdot \tan\beta \neq 1\)
\(\tan(75°) = \tan(45° + 30°) = \frac{\tan 45° + \tan 30°}{1 - \tan 45° \cdot \tan 30°}\)
\(= \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}} = \frac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}\)
Rationalisieren: \(= \frac{(3+\sqrt{3})^2}{(3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3})} = \frac{12 + 6\sqrt{3}}{6} = 2 + \sqrt{3} \approx 3{,}732\)
Wichtige Spezialfälle
Doppelwinkelformeln (\(\beta = \alpha\))
Setzt man \(\beta = \alpha\), erhält man die Doppelwinkelformeln:
\(\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha\)
\(\tan(2\alpha) = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}\)
\(\sin(60°) = \sin(2 \cdot 30°) = 2 \sin 30° \cdot \cos 30° = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}\) ✓
Halbwinkelformeln
Aus den Doppelwinkelformeln leitet man die Halbwinkelformeln ab:
\(\cos^2\!\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1 + \cos\alpha}{2}\)
Übungen
Berechne \(\sin(45° + 30°)\) mit dem Additionstheorem. Welcher Wert ergibt sich?
Welche Formel gilt für \(\cos(\alpha + \beta)\)?
Vereinfache \(\cos(60° - 45°)\) mit dem Additionstheorem.
Berechne \(\sin(2 \cdot 30°)\) mit der Doppelwinkelformel.
Berechne \(\cos(2\alpha)\), wenn \(\sin\alpha = \frac{3}{5}\) und \(\alpha\) im 1. Quadranten liegt.