Überblick
Polynomfunktionen (auch ganzrationale Funktionen genannt) sind Summen von Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten. Sie gehören zu den wichtigsten Funktionstypen der Oberstufe.
\(a_n \neq 0\) heißt Leitkoeffizient, \(n\) ist der Grad des Polynoms
Spezialfälle:
- Grad 0: konstante Funktion \(f(x) = a_0\)
- Grad 1: lineare Funktion \(f(x) = a_1 x + a_0\)
- Grad 2: quadratische Funktion \(f(x) = a_2 x^2 + a_1 x + a_0\)
- Grad 3: kubische Funktion \(f(x) = a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0\)
Wichtige Eigenschaften
Polynomfunktionen haben besondere Eigenschaften, die sie gut handhabbar machen:
- Definitionsbereich: \(\mathbb{D} = \mathbb{R}\) (überall definiert)
- Stetigkeit: Polynome sind auf ganz \(\mathbb{R}\) stetig
- Differenzierbarkeit: beliebig oft differenzierbar
- Nullstellen: ein Polynom vom Grad \(n\) hat höchstens \(n\) reelle Nullstellen
- Endverhalten: wird durch den Leitterm \(a_n x^n\) bestimmt
Tipp: Das Endverhalten eines Polynoms hängt vom Grad und vom Vorzeichen des Leitkoeffizienten ab. Bei geradem Grad verlaufen beide Enden in dieselbe Richtung, bei ungeradem Grad in entgegengesetzte Richtungen.
Übungen
Teste dein Grundwissen über Polynomfunktionen!
Welchen Grad hat das Polynom \(f(x) = 3x^4 - 2x^2 + x - 7\)?
Wie viele reelle Nullstellen kann ein Polynom vom Grad 5 höchstens haben?
Welche Aussage über das Endverhalten von \(f(x) = -2x^3 + x\) ist richtig?
Alle Themen zu Polynomfunktionen
Vertiefe dein Wissen mit diesen Spezialthemen:
Polynomfunktionen Grundlagen
Definition, Grad, Koeffizienten, Leitterm, Endverhalten und Graph
Polynomdivision
Algorithmus der Polynomdivision, Abspalten von Linearfaktoren, Horner-Schema
Nullstellen von Polynomen
Fundamentalsatz der Algebra, Faktorisierung, rationale Nullstellen raten
Polynominterpolation
Steckbriefaufgaben, Koeffizientenvergleich, Bestimmung aus Bedingungen