Definition und besondere Werte
Der natürliche Logarithmus ist der Logarithmus zur Basis \(e\):
Definiert für \(x > 0\)
Wichtige Werte:
- \(\ln(1) = 0\), denn \(e^0 = 1\)
- \(\ln(e) = 1\), denn \(e^1 = e\)
- \(\ln(e^n) = n\) für jedes \(n\)
- \(\ln\left(\frac{1}{e}\right) = -1\), denn \(e^{-1} = \frac{1}{e}\)
| \(x\) | \(0{,}5\) | \(1\) | \(2\) | \(e\) | \(5\) | \(10\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\ln(x)\) | \(-0{,}693\) | \(0\) | \(0{,}693\) | \(1\) | \(1{,}609\) | \(2{,}303\) |
Umkehrfunktion von \(e^x\)
Die Funktionen \(e^x\) und \(\ln(x)\) heben einander auf:
\(e^{\ln(x)} = x\) für alle \(x > 0\)
Graphisch: Der Graph von \(\ln(x)\) entsteht durch Spiegelung des Graphen von \(e^x\) an der Geraden \(y = x\). Dabei werden die Achsen vertauscht:
- \(e^x\) geht durch \((0 \mid 1)\) → \(\ln(x)\) geht durch \((1 \mid 0)\)
- \(e^x\) hat waagrechte Asymptote \(y = 0\) → \(\ln(x)\) hat senkrechte Asymptote \(x = 0\)
Ableitung und Stammfunktion
Die Ableitung von \(\ln(x)\) ist besonders einfach:
\(\frac{d}{dx}\, \ln(g(x)) = \frac{g'(x)}{g(x)}\) (Kettenregel)
Betragsstriche, da \(\ln\) nur für \(x > 0\) definiert ist
\(f(x) = \ln(3x)\) → \(f'(x) = \frac{3}{3x} = \frac{1}{x}\)
\(f(x) = \ln(x^2 + 1)\) → \(f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}\)
Anwendungen
Der natürliche Logarithmus wird in vielen Bereichen eingesetzt:
- Exponentialgleichungen lösen: Aus \(e^{2x} = 7\) folgt \(2x = \ln 7\), also \(x = \frac{\ln 7}{2} \approx 0{,}973\)
- Wachstumskonstante berechnen: Aus \(b^t\) wird \(e^{t \ln b}\), also \(\lambda = \ln(b)\)
- Halbwertszeit: \(t_{1/2} = \frac{\ln 2}{|\lambda|}\)
- Entropie: In der Physik: \(S = k_B \cdot \ln(\Omega)\)
Tipp: Immer wenn \(e^{...} = ...\) steht, kannst du auf beiden Seiten \(\ln\) anwenden, um den Exponenten zu isolieren. Das ist die häufigste Anwendung von \(\ln\) in Schulaufgaben.
Übungen
Welchen Wert hat \(\ln(e^5)\)?
Was ist die Ableitung von \(f(x) = \ln(x)\)?
Löse die Gleichung \(e^{3x} = 20\) nach \(x\) auf.
Welche Ableitung hat \(f(x) = \ln(2x + 1)\)?