Monotonie
Die Monotonie beschreibt, ob eine Funktion steigt oder fällt. Man unterscheidet vier Arten:
Streng monoton steigend: Für \(x_1 < x_2\) gilt immer \(f(x_1) < f(x_2)\). Die Funktionswerte werden immer größer.
Monoton steigend: Für \(x_1 < x_2\) gilt \(f(x_1) \leq f(x_2)\). Die Funktionswerte werden größer oder bleiben gleich.
Streng monoton fallend: Für \(x_1 < x_2\) gilt immer \(f(x_1) > f(x_2)\). Die Funktionswerte werden immer kleiner.
Monoton fallend: Für \(x_1 < x_2\) gilt \(f(x_1) \geq f(x_2)\).
\(f(x) = 2x + 1\) ist streng monoton steigend auf ganz \(\mathbb{R}\) (Steigung \(k = 2 > 0\)).
\(f(x) = -3x + 5\) ist streng monoton fallend auf ganz \(\mathbb{R}\) (Steigung \(k = -3 < 0\)).
\(f(x) = x^2\) ist streng monoton fallend für \(x < 0\) und streng monoton steigend für \(x > 0\).
Symmetrie
Funktionen können symmetrisch sein. Die zwei wichtigsten Symmetriearten:
Beispiele: \(f(x) = x^2\), \(f(x) = x^4\), \(f(x) = \cos(x)\)
Beispiele: \(f(x) = x^3\), \(f(x) = x^5\), \(f(x) = \sin(x)\)
Tipp: Bei Polynomen gilt: Enthält die Funktion nur gerade Exponenten (und eine Konstante), ist sie gerade. Enthält sie nur ungerade Exponenten, ist sie ungerade.
Periodizität
Eine Funktion ist periodisch, wenn sich ihr Verlauf regelmäßig wiederholt.
\(p > 0\) ist die Periode (die kleinste solche Zahl heißt primitive Periode)
\(f(x) = \sin(x)\) hat die Periode \(p = 2\pi\).
\(f(x) = \cos(x)\) hat die Periode \(p = 2\pi\).
\(f(x) = \tan(x)\) hat die Periode \(p = \pi\).
Beschränktheit
Eine Funktion ist beschränkt, wenn ihre Funktionswerte nicht beliebig groß oder klein werden.
Nach oben beschränkt: Es gibt eine Zahl \(S\), sodass \(f(x) \leq S\) für alle \(x \in D\).
Nach unten beschränkt: Es gibt eine Zahl \(s\), sodass \(f(x) \geq s\) für alle \(x \in D\).
Beschränkt: Nach oben und unten beschränkt.
\(f(x) = x^2\): nach unten beschränkt (durch 0), aber nicht nach oben beschränkt.
\(f(x) = \sin(x)\): beschränkt, denn \(-1 \leq \sin(x) \leq 1\).
\(f(x) = 2x + 1\): weder nach oben noch nach unten beschränkt.
Nullstellen & Extremwerte
Nullstellen sind jene \(x\)-Werte, an denen \(f(x) = 0\) gilt. Graphisch: die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse.
Extremwerte sind lokale Hoch- oder Tiefpunkte der Funktion. An einem Extremwert wechselt das Monotonieverhalten.
Übungen
Welche Funktion ist streng monoton steigend auf ganz \(\mathbb{R}\)?
Welche Eigenschaft hat \(f(x) = x^4 + 2x^2\)?
Welche Funktion ist beschränkt?
Welche Periode hat die Funktion \(f(x) = \sin(x)\)?
Wie viele Nullstellen hat \(f(x) = x^3 - 4x\)?