Die Eulersche Zahl \(e\)
Die Eulersche Zahl \(e\) ist eine irrationale Zahl, die in der Mathematik eine zentrale Rolle spielt:
Benannt nach Leonhard Euler (1707–1783)
Woher kommt \(e\)? Stell dir vor, du legst 1 Euro zu 100 % Jahreszins an:
- Einmal jährlich verzinst: \(1 \cdot (1 + 1)^1 = 2{,}00\) Euro
- Halbjährlich: \(1 \cdot (1 + 0{,}5)^2 = 2{,}25\) Euro
- Monatlich: \(1 \cdot (1 + \frac{1}{12})^{12} \approx 2{,}613\) Euro
- Täglich: \(1 \cdot (1 + \frac{1}{365})^{365} \approx 2{,}7146\) Euro
- Stetig (Grenzwert): \(e \approx 2{,}71828\) Euro
Eigenschaften von \(f(x) = e^x\)
Die natürliche Exponentialfunktion hat alle Eigenschaften einer Exponentialfunktion mit \(b = e \approx 2{,}718 > 1\):
- Definitionsmenge: \(D = \mathbb{R}\)
- Wertemenge: \(W = (0, +\infty)\)
- y-Achsenabschnitt: \(e^0 = 1\), also geht der Graph durch \((0 \mid 1)\)
- Monotonie: streng monoton steigend
- Asymptote: \(y = 0\) (x-Achse) für \(x \to -\infty\)
- Keine Nullstellen: \(e^x > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\)
Die besondere Eigenschaft: Die natürliche Exponentialfunktion ist die einzige Funktion (bis auf Vielfache), die gleich ihrer eigenen Ableitung ist:
\(f(x) = e^x \quad \Rightarrow \quad f'(x) = e^x\)
Das bedeutet: Die Steigung des Graphen an jeder Stelle \(x_0\) ist gleich dem Funktionswert \(e^{x_0}\).
An der Stelle \(x = 0\): \(f(0) = e^0 = 1\) und \(f'(0) = e^0 = 1\) – die Steigung beträgt 1.
An der Stelle \(x = 1\): \(f(1) = e^1 \approx 2{,}718\) und \(f'(1) = e^1 \approx 2{,}718\) – die Steigung beträgt \(\approx 2{,}718\).
An der Stelle \(x = 2\): \(f(2) = e^2 \approx 7{,}389\) und \(f'(2) = e^2 \approx 7{,}389\).
Ableitungen und Stammfunktion
Die Ableitungs- und Integrationsregeln für \(e^x\) sind besonders einfach:
\(\frac{d}{dx}\, e^{kx} = k \cdot e^{kx}\) (Kettenregel)
\(\int e^x \, dx = e^x + C\)
Mit der Kettenregel (innere Ableitung \(= 2\)):
\(f'(x) = 3 \cdot 2 \cdot e^{2x} = 6e^{2x}\)
Umrechnung jeder Exponentialfunktion
Jede Exponentialfunktion \(b^x\) lässt sich mit Hilfe von \(e\) darstellen:
Denn \(b = e^{\ln(b)}\), also \(b^x = \left(e^{\ln(b)}\right)^x = e^{x \ln(b)}\)
Tipp: Diese Umrechnung ist wichtig, weil man in der Analysis meist mit \(e^x\) arbeitet, da das Ableiten damit am einfachsten ist.
\(2^x = e^{x \cdot \ln 2} \approx e^{0{,}693x}\)
\(10^x = e^{x \cdot \ln 10} \approx e^{2{,}303x}\)
Übungen
Welchen Wert hat \(e^0\)?
Was ist die Ableitung von \(f(x) = 5e^{3x}\)?
Welche Steigung hat der Graph von \(f(x) = e^x\) an der Stelle \(x = 0\)?
Wie lässt sich \(3^x\) mit der Basis \(e\) darstellen?