Halbwertszeit
Die Halbwertszeit \(t_{1/2}\) ist die Zeitspanne, nach der ein exponentiell zerfallender Bestand auf die Hälfte gesunken ist.
Dabei ist \(\lambda < 0\) die Zerfallskonstante aus \(f(t) = a \cdot e^{\lambda t}\)
Herleitung: Wir suchen \(t_{1/2}\) so, dass \(f(t_{1/2}) = \frac{1}{2} \cdot f(0)\):
\(a \cdot e^{\lambda \cdot t_{1/2}} = \frac{a}{2}\)
\(e^{\lambda \cdot t_{1/2}} = \frac{1}{2}\)
\(\lambda \cdot t_{1/2} = \ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\ln 2\)
\(t_{1/2} = \frac{-\ln 2}{\lambda} = \frac{\ln 2}{|\lambda|}\) (da \(\lambda < 0\))
Das Kohlenstoff-Isotop C-14 hat eine Halbwertszeit von \(t_{1/2} = 5730\) Jahren.
Zerfallskonstante: \(\lambda = -\frac{\ln 2}{5730} \approx -0{,}000\,121\) pro Jahr
Zerfallsfunktion: \(N(t) = N_0 \cdot e^{-0{,}000121 \cdot t}\)
Wenn in einer Probe nur noch 25 % des ursprünglichen C-14 vorhanden ist, sind genau 2 Halbwertszeiten vergangen: \(t = 2 \cdot 5730 = 11\,460\) Jahre.
Verdoppelungszeit
Die Verdoppelungszeit \(t_2\) ist die Zeitspanne, nach der ein exponentiell wachsender Bestand auf das Doppelte angestiegen ist.
Dabei ist \(\lambda > 0\) die Wachstumskonstante aus \(f(t) = a \cdot e^{\lambda t}\)
Merke: Die Formeln für Halbwertszeit und Verdoppelungszeit haben denselben Aufbau – nur das Vorzeichen von \(\lambda\) unterscheidet sie. In beiden Fällen gilt: \(t = \frac{\ln 2}{|\lambda|}\).
Eine Bakterienkultur wächst mit \(\lambda = 0{,}231\) pro Stunde.
Verdoppelungszeit: \(t_2 = \frac{\ln 2}{0{,}231} = \frac{0{,}693}{0{,}231} = 3\) Stunden
Die Bakterienanzahl verdoppelt sich also alle 3 Stunden.
Berechnung aus gegebenen Daten
Häufig kennt man nicht \(\lambda\), sondern zwei Messwerte. So berechnest du die Halbwertszeit bzw. Verdoppelungszeit:
2. Dividiere: \(\frac{f(t_2)}{f(t_1)} = e^{\lambda(t_2 - t_1)}\)
3. Logarithmiere: \(\lambda = \frac{\ln\left(\frac{f(t_2)}{f(t_1)}\right)}{t_2 - t_1}\)
4. Setze ein: \(t_{1/2} = \frac{\ln 2}{|\lambda|}\)
Ein radioaktives Element: Zum Zeitpunkt \(t = 0\) misst man 800 g, nach \(t = 10\) Stunden noch 200 g.
\(\lambda = \frac{\ln(200/800)}{10 - 0} = \frac{\ln(0{,}25)}{10} = \frac{-1{,}386}{10} = -0{,}1386\) pro Stunde
\(t_{1/2} = \frac{\ln 2}{0{,}1386} = \frac{0{,}693}{0{,}1386} = 5\) Stunden
Probe: Nach 5 h: \(800 \cdot e^{-0{,}1386 \cdot 5} = 800 \cdot 0{,}5 = 400\) g ✓
Vielfache der Halbwertszeit
Nach \(n\) Halbwertszeiten ist noch \(\left(\frac{1}{2}\right)^n\) des Anfangsbestandes vorhanden:
| Halbwertszeiten | Verbleibend | In Prozent |
|---|---|---|
| \(0\) | \(1\) | 100 % |
| \(1\) | \(\frac{1}{2}\) | 50 % |
| \(2\) | \(\frac{1}{4}\) | 25 % |
| \(3\) | \(\frac{1}{8}\) | 12,5 % |
| \(4\) | \(\frac{1}{16}\) | 6,25 % |
| \(10\) | \(\frac{1}{1024}\) | ≈ 0,1 % |
Wichtig: Die Halbwertszeit ist unabhängig vom Anfangswert! Egal ob man mit 1 kg oder 1 t beginnt – die Zeit bis zur Halbierung ist immer gleich.
Übungen
Ein Stoff hat eine Halbwertszeit von 6 Stunden. Wie viel ist nach 12 Stunden noch vorhanden, wenn man mit 400 g startet?
Bakterien verdoppeln sich alle 4 Stunden. Wie groß ist die Wachstumskonstante \(\lambda\)?
Jod-131 hat eine Halbwertszeit von 8 Tagen. Wie viel Prozent sind nach 24 Tagen noch vorhanden?
Von einem Stoff sind nach 5 Stunden noch 600 g und nach 15 Stunden noch 150 g vorhanden. Wie groß ist die Halbwertszeit?
Bei einer C-14-Datierung werden noch 12{,}5 % des ursprünglichen C-14 gemessen. Wie alt ist die Probe? (Halbwertszeit C-14: 5730 Jahre)