Grundidee
Man kann zwei Funktionen hintereinander ausführen: Zuerst berechnet man \(g(x)\), dann setzt man das Ergebnis in \(f\) ein.
Lies: „f nach g von x" – zuerst \(g\), dann \(f\)
Begriffe:
- \(g\) heißt innere Funktion
- \(f\) heißt äußere Funktion
- Die Reihenfolge ist wichtig: \(f \circ g \neq g \circ f\) im Allgemeinen!
Funktion 1: Preis berechnen: \(g(x) = 50x\) (50 € pro Stück)
Funktion 2: Rabatt anwenden: \(f(y) = 0{,}9 \cdot y\) (10 % Rabatt)
Verkettung: \((f \circ g)(x) = f(g(x)) = 0{,}9 \cdot 50x = 45x\)
→ Zuerst wird der Preis berechnet, dann der Rabatt angewendet.
Berechnung
Um \(f(g(x))\) zu berechnen, ersetzt man in der Formel von \(f\) jedes \(x\) durch den Ausdruck \(g(x)\).
Gegeben: \(f(x) = x^2 + 1\) und \(g(x) = 2x - 3\)
Gleiche Funktionen, aber \(g \circ f\):
Fazit: \(f \circ g \neq g \circ f\), da \(4x^2 - 12x + 10 \neq 2x^2 - 1\).
Funktionen zerlegen
Umgekehrt kann man eine komplexe Funktion in innere und äußere Funktion zerlegen. Das ist wichtig für die Kettenregel.
| Funktion \(h(x)\) | Äußere \(f(u)\) | Innere \(g(x)\) |
|---|---|---|
| \((3x+1)^5\) | \(u^5\) | \(3x+1\) |
| \(\sin(2x)\) | \(\sin(u)\) | \(2x\) |
| \(e^{x^2}\) | \(e^u\) | \(x^2\) |
| \(\sqrt{x^2 + 4}\) | \(\sqrt{u}\) | \(x^2 + 4\) |
| \(\ln(3x - 1)\) | \(\ln(u)\) | \(3x - 1\) |
Definitionsbereich
Der Definitionsbereich von \(f \circ g\) enthält alle \(x\) aus dem Definitionsbereich von \(g\), für die \(g(x)\) im Definitionsbereich von \(f\) liegt.
\(f(x) = \sqrt{x}\) (definiert für \(x \geq 0\)) und \(g(x) = 1 - x^2\)
\((f \circ g)(x) = \sqrt{1 - x^2}\)
Bedingung: \(1 - x^2 \geq 0 \implies x^2 \leq 1 \implies -1 \leq x \leq 1\)
Also: \(D_{f \circ g} = [-1, 1]\)
Übungen
Gegeben: \(f(x) = x + 3\) und \(g(x) = 2x\). Berechne \((f \circ g)(4)\).
Was ist die innere Funktion bei \(h(x) = \sin(3x + 1)\)?
\(f(x) = x^2\) und \(g(x) = x + 1\). Wie lautet \((f \circ g)(x)\)?
Gilt \(f \circ g = g \circ f\) für \(f(x) = 2x\) und \(g(x) = x + 5\)?
Wie lautet der Definitionsbereich von \(h(x) = \ln(4 - x^2)\)?