AN 1 – Änderungsmaße
AN 1.1 – Änderungsmaße ermitteln
Du kannst mittlere und lokale Änderungsraten aus Tabellen, Graphen und Funktionstermen ermitteln und im jeweiligen Kontext deuten.
Mittlere Änderungsrate (Differenzenquotient):
\(\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}\)
AN 1.2 – Differenzen- und Differentialquotient
Du kennst den Zusammenhang zwischen Differenzenquotient (Sekantensteigung) und Differentialquotient (Tangentensteigung) und kannst den Übergang beschreiben.
Differentialquotient (Ableitung):
\(f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}\)
Die Temperatur eines Getränks wird gemessen: \(f(0) = 5°C\), \(f(10) = 15°C\).
AN 2 – Regeln für das Differenzieren
AN 2.1 – Ableitungen berechnen
Du kannst Ableitungen von Potenz-, Polynom-, Sinus-, Kosinus- und Exponentialfunktionen berechnen.
Potenzregel: \(f(x) = x^n \Rightarrow f'(x) = n \cdot x^{n-1}\)
Summenregel: \((f + g)'(x) = f'(x) + g'(x)\)
Faktorregel: \((c \cdot f)'(x) = c \cdot f'(x)\)
AN 2.2 – Produkt- und Quotientenregel
Du kannst die Produktregel und Quotientenregel anwenden.
Produktregel: \((f \cdot g)'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)\)
Quotientenregel: \(\left(\frac{f}{g}\right)'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2}\)
AN 2.3 – Kettenregel
Du kannst die Kettenregel bei verketteten Funktionen anwenden.
Kettenregel: \((f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)\)
Bestimme die Ableitung von \(f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5x - 7\).
AN 3 – Anwendungen der Differentialrechnung
AN 3.1 – Zusammenhang Funktion und Ableitungsfunktion
Du kennst den Zusammenhang zwischen Funktion, erster und zweiter Ableitung und kannst von einem Graphen auf den anderen schließen.
Wichtige Zusammenhänge:
- \(f'(x) > 0\): \(f\) ist streng monoton steigend
- \(f'(x) < 0\): \(f\) ist streng monoton fallend
- \(f'(x_0) = 0\): möglicher Extremwert bei \(x_0\)
- \(f''(x_0) = 0\): möglicher Wendepunkt bei \(x_0\)
AN 3.2 – Monotonie und Krümmung
Du kannst Monotonie- und Krümmungsintervalle einer Funktion bestimmen.
AN 3.3 – Extremwerte und Wendepunkte
Du kannst Extremwerte und Wendepunkte berechnen und im Kontext interpretieren.
Extremwerte: \(f'(x_0) = 0\) und \(f''(x_0) \neq 0\)
Wenn \(f''(x_0) < 0\): lokales Maximum; wenn \(f''(x_0) > 0\): lokales Minimum
Wendepunkte: \(f''(x_0) = 0\) und \(f'''(x_0) \neq 0\)
AN 3.4 – Funktionsgleichungen aufstellen
Du kannst aus gegebenen Bedingungen (z.B. Punkte, Extremwerte) eine Funktionsgleichung aufstellen.
Bestimme die Extremwerte von \(f(x) = x^3 - 3x\).
AN 4 – Integralrechnung
AN 4.1 – Stammfunktionen
Du kannst Stammfunktionen von Potenz- und Polynomfunktionen berechnen.
Stammfunktion (Potenzregel): \(\int x^n\, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)\)
AN 4.2 – Zusammenhang Funktion und Stammfunktion
Du kennst den Zusammenhang: Ist \(F\) eine Stammfunktion von \(f\), dann gilt \(F'(x) = f(x)\).
AN 4.3 – Bestimmtes Integral
Du kannst bestimmte Integrale berechnen und als orientierten Flächeninhalt deuten.
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:
\(\int_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a)\)
AN 4.4 – Flächenberechnung
Du kannst Flächen zwischen Funktionsgraphen und der x-Achse sowie zwischen zwei Funktionsgraphen berechnen.
Fläche zwischen zwei Funktionen:
\(A = \int_a^b |f(x) - g(x)|\, dx\)
Berechne \(\int_0^3 (2x + 1)\, dx\).
Achtung: Das bestimmte Integral kann negativ sein! Für die Flächenberechnung musst du den Betrag verwenden oder die Intervalle aufteilen, in denen \(f(x) < 0\) ist.
Übungsaufgaben
Die mittlere Änderungsrate von \(f(x) = x^2\) im Intervall \([1;\, 3]\) beträgt:
Die Ableitung von \(f(x) = 5x^3 - 2x + 7\) lautet:
An welcher Stelle hat \(f(x) = x^3 - 12x\) ein lokales Minimum?
Welche Stammfunktion gehört zu \(f(x) = 6x^2 - 4x + 1\)?
Berechne \(\int_1^4 (3x^2)\, dx\).