Potenzregel
Die Potenzregel ist die wichtigste Integrationsregel. Sie kehrt die Potenzregel der Ableitung um.
Potenz um 1 erhöhen, durch die neue Potenz dividieren.
\(\int x^4\,dx = \frac{x^5}{5} + C\)
\(\int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x} + C\)
\(\int \sqrt{x}\,dx = \int x^{1/2}\,dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}x^{3/2} + C\)
Sonderfall \(n = -1\): Für \(f(x) = x^{-1} = \frac{1}{x}\) gilt die Potenzregel nicht (Division durch 0). Stattdessen: \(\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C\).
Summenregel
Das Integral einer Summe ist die Summe der Integrale:
\(\int (x^3 + x^2)\,dx = \int x^3\,dx + \int x^2\,dx = \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} + C\)
Faktorregel
Ein konstanter Faktor darf vor das Integral gezogen werden:
\(\int 7x^2\,dx = 7 \cdot \int x^2\,dx = 7 \cdot \frac{x^3}{3} + C = \frac{7x^3}{3} + C\)
Stammfunktionen wichtiger Funktionen
| \(f(x)\) | \(F(x) = \int f(x)\,dx\) |
|---|---|
| \(x^n\) (\(n \neq -1\)) | \(\frac{x^{n+1}}{n+1} + C\) |
| \(\frac{1}{x}\) | \(\ln|x| + C\) |
| \(e^x\) | \(e^x + C\) |
| \(e^{ax}\) | \(\frac{1}{a} e^{ax} + C\) |
| \(\sin(x)\) | \(-\cos(x) + C\) |
| \(\cos(x)\) | \(\sin(x) + C\) |
| \(\frac{1}{\cos^2(x)}\) | \(\tan(x) + C\) |
\(\int (3e^x - 2\sin(x) + 5)\,dx = 3e^x + 2\cos(x) + 5x + C\)
Übungen
Berechne \(\int x^5\,dx\).
Was ist \(\int e^x\,dx\)?
Berechne \(\int \frac{3}{x}\,dx\).
Berechne \(\int (4x^3 - 6x + 2)\,dx\).
Berechne \(\int \left(\frac{2}{\sqrt{x}} + e^{3x}\right)\,dx\).