Definition des Mittelwerts
Der Mittelwert (auch: Durchschnittswert) einer stetigen Funktion \(f(x)\) über dem Intervall \([a, b]\) ist definiert als:
Der Mittelwert ist der Integralwert geteilt durch die Intervallbreite.
Idee: Man teilt die „Gesamtfläche" unter dem Graphen durch die Breite des Intervalls. Das Ergebnis ist die Höhe eines Rechtecks, das denselben Flächeninhalt wie die Fläche unter der Kurve hat.
Geometrische Interpretation
Der Mittelwert \(\bar{f}\) hat eine sehr anschauliche geometrische Deutung:
- Die Fläche unter dem Graphen von \(f(x)\) im Intervall \([a, b]\) ist gleich \(\int_a^b f(x)\,dx\).
- Ein Rechteck mit der Breite \(b - a\) und der Höhe \(\bar{f}\) hat denselben Flächeninhalt.
Das Rechteck mit Höhe \(\bar{f}\) und Breite \(b-a\) hat dieselbe Fläche wie die Fläche unter \(f(x)\).
Mittelwertsatz der Integralrechnung
Der Mittelwertsatz der Integralrechnung besagt: Ist \(f\) stetig auf \([a, b]\), dann gibt es mindestens eine Stelle \(c \in [a, b]\), sodass:
Es existiert ein \(c \in [a, b]\), an dem der Funktionswert gleich dem Mittelwert ist.
Bedeutung: Es gibt also immer mindestens eine Stelle im Intervall, an der die Funktion ihren Durchschnittswert tatsächlich annimmt.
Beispiele
Berechne den Mittelwert von \(f(x) = 2x + 1\) über \([0, 4]\).
\(\bar{f} = \frac{1}{4 - 0} \int_0^4 (2x + 1)\,dx = \frac{1}{4}\left[x^2 + x\right]_0^4 = \frac{1}{4}(16 + 4) = 5\)
Probe: \(f(0) = 1\), \(f(4) = 9\). Arithmetisches Mittel: \(\frac{1+9}{2} = 5\) ✓ (Bei linearen Funktionen stimmt der integrale Mittelwert mit dem arithmetischen Mittel überein.)
Berechne den Mittelwert von \(f(x) = x^2\) über \([0, 3]\).
\(\bar{f} = \frac{1}{3 - 0} \int_0^3 x^2\,dx = \frac{1}{3}\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3 = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3\)
Der Durchschnittswert von \(x^2\) im Intervall \([0, 3]\) beträgt also 3.
Tipp für die Matura: Der Mittelwert wird oft in Kontextaufgaben gefragt, z. B. „Wie hoch ist die Durchschnittstemperatur im Zeitraum von \(a\) bis \(b\)?" Dabei modelliert \(f(t)\) die Temperatur zur Zeit \(t\).
Übungen
Berechne den Mittelwert von \(f(x) = 4\) über \([1, 5]\).
Berechne den Mittelwert von \(f(x) = 3x\) über \([0, 2]\).
Was besagt der Mittelwertsatz der Integralrechnung?
Berechne den Mittelwert von \(f(x) = \sin(x)\) über \([0, \pi]\).