Quotientenregel: Formel, Herleitung, Beispiele, Tangens ableiten

Die Regel

Quotientenregel

\(\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}\)

Merkregel: „Zähler abgeleitet mal Nenner, minus Zähler mal Nenner abgeleitet, durch Nenner hoch zwei." Der Summand, der mit der Ableitung des Zählers beginnt, steht vorne. Wer sich die Reihenfolge über die Produktregel merkt (\(u'v\) zuerst), liegt richtig.

Die Regel gilt überall dort, wo \(v(x) \neq 0\) ist. An den Nullstellen des Nenners ist die Funktion nicht definiert, und dort gibt es auch keine Ableitung.

Woher die Regel kommt

Ein Quotient ist ein Produkt mit einem Kehrwert: \(\frac{u}{v} = u \cdot v^{-1}\). Darauf lassen sich die Produktregel und die Kettenregel anwenden.

Herleitung

Ableitung von \(v^{-1}\) mit Potenz- und Kettenregel: \((v^{-1})' = -1 \cdot v^{-2} \cdot v' = -\dfrac{v'}{v^2}\)

Produktregel auf \(u \cdot v^{-1}\): \(u' \cdot v^{-1} + u \cdot \left(-\dfrac{v'}{v^2}\right) = \dfrac{u'}{v} - \dfrac{u v'}{v^2}\)

Auf gemeinsamen Nenner bringen: \(\dfrac{u' v}{v^2} - \dfrac{u v'}{v^2} = \dfrac{u' v - u v'}{v^2}\)

Das Minus stammt also aus der Ableitung von \(v^{-1}\), dem Exponenten \(-1\). Und die Herleitung zeigt zugleich, dass man jeden Quotienten auch ohne Quotientenregel ableiten kann - mit Produkt- und Kettenregel, nur etwas länger.

Beispiele

Beispiel 1: \(f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}\)

\(u = 2x + 1\), \(u' = 2\); \(v = x - 3\), \(v' = 1\)

\(f'(x) = \dfrac{2 \cdot (x - 3) - (2x + 1) \cdot 1}{(x - 3)^2} = \dfrac{2x - 6 - 2x - 1}{(x - 3)^2} = \dfrac{-7}{(x - 3)^2}\)

Deutung: Die Ableitung ist überall negativ, die Funktion fällt auf beiden Seiten der Polstelle \(x = 3\). Das Quadrat im Nenner ist nie negativ, das Vorzeichen kommt allein vom Zähler.

Beispiel 2: \(f(x) = \dfrac{x^2}{x + 1}\)

\(u = x^2\), \(u' = 2x\); \(v = x + 1\), \(v' = 1\)

\(f'(x) = \dfrac{2x \cdot (x + 1) - x^2 \cdot 1}{(x + 1)^2} = \dfrac{2x^2 + 2x - x^2}{(x + 1)^2} = \dfrac{x^2 + 2x}{(x + 1)^2}\)

Nullstellen der Ableitung aus dem Zähler: \(x(x + 2) = 0\), also \(x = 0\) und \(x = -2\). Das sind die Kandidaten für Extremstellen.

Beispiel 3: \(f(x) = \dfrac{\sin(x)}{x}\)

\(u = \sin(x)\), \(u' = \cos(x)\); \(v = x\), \(v' = 1\)

\(f'(x) = \dfrac{\cos(x) \cdot x - \sin(x) \cdot 1}{x^2} = \dfrac{x \cos(x) - \sin(x)}{x^2}\)

Beispiel 4: \(f(x) = \dfrac{e^x}{x}\)

\(u = e^x\), \(u' = e^x\); \(v = x\), \(v' = 1\)

\(f'(x) = \dfrac{e^x \cdot x - e^x \cdot 1}{x^2} = \dfrac{e^x (x - 1)}{x^2}\)

In allen Beispielen bleibt der Nenner als Quadrat stehen. \((x - 3)^2\) auszumultiplizieren bringt nichts und macht das Kürzen und das Ablesen der Polstellen schwerer.

Die Ableitung des Tangens

Die bekannteste Anwendung: \(\tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}\).

\((\tan x)'\) mit der Quotientenregel

\(u = \sin(x)\), \(u' = \cos(x)\); \(v = \cos(x)\), \(v' = -\sin(x)\)

\((\tan x)' = \dfrac{\cos(x) \cdot \cos(x) - \sin(x) \cdot (-\sin(x))}{\cos^2(x)} = \dfrac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)}\)

Mit \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\): \((\tan x)' = \dfrac{1}{\cos^2(x)}\)

Dividiert man den Bruch aus Schritt 2 gliedweise, erhält man die zweite übliche Form \((\tan x)' = 1 + \tan^2(x)\). Beide Schreibweisen sind richtig und stehen so in der Formelsammlung.

Sonderfall: Zahl im Zähler

Steht im Zähler nur eine Konstante, vereinfacht sich die Regel, weil \(u' = 0\) ist:

Kehrwert einer Funktion

\(\left(\dfrac{1}{v}\right)' = -\dfrac{v'}{v^2}\)

Beispiel: \(\left(\dfrac{1}{x^2 + 1}\right)' = -\dfrac{2x}{(x^2 + 1)^2}\). Und wenn im Nenner nur eine Potenz von \(x\) steht, ist die Potenzregel noch kürzer: \(\dfrac{5}{x^3} = 5x^{-3}\) hat die Ableitung \(-15x^{-4} = -\dfrac{15}{x^4}\). Die Quotientenregel liefert dasselbe, braucht aber drei Zeilen mehr. Dasselbe gilt für einen konstanten Nenner: \(\dfrac{x^2}{3}\) ist \(\frac{1}{3} x^2\) mit der Ableitung \(\frac{2}{3} x\), ganz ohne Quotientenregel.

Definitionsmenge und Polstellen

Vor dem Ableiten lohnt ein Blick auf den Nenner. \(f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}\) ist für \(x = 3\) nicht definiert, die Ableitung \(\dfrac{-7}{(x - 3)^2}\) ebenfalls nicht. Die Definitionsmenge von \(f'\) ist nie größer als die von \(f\). Manchmal lässt sich vor dem Ableiten kürzen: \(\dfrac{x^2 + x}{x} = x + 1\) für \(x \neq 0\), mit der Ableitung 1 - die Quotientenregel wäre hier ein Umweg. Wie Polstellen und Asymptoten das Bild einer Funktion prägen, steht bei den Asymptoten und in der Kurvendiskussion rationaler Funktionen.

Was die Matura verlangt

Wie die Produktregel ist auch die Quotientenregel keine Grundkompetenz: AN 2.1 verlangt nur Potenz-, Summen- und Faktorregel. Bei der standardisierten Reifeprüfung tauchen gebrochen rationale Funktionen höchstens zum Ablesen und Deuten auf, nicht zum Ableiten. Im Unterricht der 7. Klasse und bei Schularbeiten gehört die Regel dagegen zum Kern, weil ohne sie keine Kurvendiskussion einer rationalen Funktion möglich ist. Eine Übersicht aller Regeln gibt es bei den Ableitungsregeln.

Die häufigsten Fehler

Reihenfolge vertauscht: \(u v' - u' v\) statt \(u' v - u v'\) liefert das Ergebnis mit falschem Vorzeichen. Zähler abgeleitet steht vorne.
Nenner nicht quadriert: Im Nenner steht \(v^2\), nicht \(v\).
Nenner ausmultipliziert: \((x - 3)^2\) stehen lassen. So sieht man die Polstelle und kann kürzen.
Plus statt Minus: Die Quotientenregel hat ein Minus im Zähler, die Produktregel ein Plus. Beide verwechselt ist der Klassiker.
Quotientenregel bei konstantem Nenner: \(\frac{x^2}{3}\) braucht nur die Faktorregel.
Innere Ableitung vergessen: Bei \(v = e^{2x}\) ist \(v' = 2e^{2x}\), die Kettenregel gilt auch im Nenner.