Was die Ableitung angibt
Die Ableitung \(f'(x)\) einer Funktion an der Stelle \(x\) ist eine Zahl mit drei gleichwertigen Bedeutungen:
| Sichtweise | \(f'(x)\) ist … | Beispiel |
|---|---|---|
| geometrisch | die Steigung der Tangente an den Graphen im Punkt \((x \mid f(x))\) | \(f(x) = x^2\): bei \(x = 3\) hat die Tangente die Steigung 6 |
| als Änderungsrate | die momentane Änderungsrate von \(f\) an der Stelle \(x\) | Weg-Zeit-Funktion \(s(t)\): \(s'(t)\) ist die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t\) |
| als Grenzwert | der Differenzenquotient für ein immer kleineres Intervall | \(\frac{f(x+h) - f(x)}{h}\) für \(h \to 0\) |
Für die Ableitung gibt es drei gebräuchliche Schreibweisen, die alle dasselbe meinen: \(f'(x)\) nach Lagrange, \(\frac{df}{dx}\) oder \(\frac{dy}{dx}\) nach Leibniz, und bei Zeitfunktionen \(\dot{s}\) nach Newton. In der Schule ist \(f'(x)\) üblich; \(\frac{dy}{dx}\) taucht auf, sobald es um Integrale und Differentialgleichungen geht.
Vom Differenzenquotienten zur Ableitung
Die mittlere Steigung zwischen zwei Punkten des Graphen ist ein gewöhnlicher Bruch, der Differenzenquotient:
Rückt man den zweiten Punkt immer näher an den ersten heran, nähert sich der Differenzenquotient einem festen Wert - der Steigung der Tangente. Dieser Grenzwert heißt Differentialquotient oder Ableitung:
Dieselbe Rechnung mit allgemeinem \(x\) statt 3 liefert \(f'(x) = 2x\) - die Ableitung als Funktion. Ausführlich mit weiteren Beispielen: Differenzenquotient und Differentialquotient.
Die Ableitungsfunktion
Berechnet man die Ableitung nicht an einer Stelle, sondern für jedes \(x\), entsteht eine neue Funktion: die Ableitungsfunktion \(f'\). Sie ordnet jeder Stelle die dortige Steigung zu. Ihr Graph zeigt auf einen Blick, wo \(f\) steigt und wo \(f\) fällt:
| Wenn an der Stelle \(x\) … | dann ist … | Bedeutung |
|---|---|---|
| \(f'(x) > 0\) | \(f\) dort streng monoton steigend | der Graph geht bergauf |
| \(f'(x) < 0\) | \(f\) dort streng monoton fallend | der Graph geht bergab |
| \(f'(x) = 0\) | die Tangente waagrecht | möglicher Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt |
| \(f'\) wechselt von + nach − | \(f\) hat ein lokales Maximum | Hochpunkt |
| \(f'\) wechselt von − nach + | \(f\) hat ein lokales Minimum | Tiefpunkt |
Genau diesen Zusammenhang zwischen \(f\) und \(f'\) verlangt der Grundkompetenzkatalog in AN 3.2 und AN 3.3 - auch grafisch: Aus dem Graphen von \(f'\) den Verlauf von \(f\) erkennen und umgekehrt. Die vollständige Untersuchung mit zweiter Ableitung, Krümmung und Wendepunkten: Kurvendiskussion.
Ableiten in der Praxis: die Regeln
Den Grenzwert rechnet man nur zum Verständnis einmal von Hand. Danach arbeitet man mit Regeln, die für ganze Funktionsklassen gelten:
| Regel | Formel | Beispiel |
|---|---|---|
| Potenzregel | \((x^n)' = n \cdot x^{n-1}\) | \((x^3)' = 3x^2\) |
| Faktor- und Summenregel | \((c \cdot f + g)' = c \cdot f' + g'\) | \((4x^3 - x)' = 12x^2 - 1\) |
| Produktregel | \((u \cdot v)' = u'v + uv'\) | \((x \cdot e^x)' = e^x + xe^x\) |
| Kettenregel | \((f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)\) | \((e^{2x})' = 2e^{2x}\) |
Alle Regeln mit Herleitung, Quotientenregel, Entscheidungstabelle und den typischen Fehlern: Ableitungsregeln. Für Polynome genügen die ersten beiden Zeilen - das ist der Stoff, mit dem die 7. Klasse beginnt.
Ableitung als Geschwindigkeit
Die wichtigste Anwendung außerhalb der Mathematik: Ist \(s(t)\) der zurückgelegte Weg zum Zeitpunkt \(t\), dann ist \(s'(t)\) die Geschwindigkeit und \(s''(t)\) die Beschleunigung.
Dasselbe Muster gilt in der Wirtschaft (Grenzkosten als Ableitung der Kostenfunktion) und in jeder Situation, in der eine Größe von einer anderen abhängt. Der Katalog nennt das in AN 1.3: Differenzen- und Differentialquotient „in verschiedenen Kontexten deuten".
Vertiefung
Differenzenquotient und Differentialquotient
Der Grenzwert Schritt für Schritt, h-Methode, weitere Beispiele
Ableitungsregeln
Potenz-, Summen-, Produkt-, Quotienten- und Kettenregel mit Beispielen
Kettenregel
Verschachtelte Funktionen: äußere mal innere Ableitung
Exponential- und Logarithmusfunktionen ableiten
\(e^x\), \(a^x\), \(\ln x\) und warum \(e\) die bequemste Basis ist
Sinus und Cosinus ableiten
\(\sin\), \(\cos\), \(\tan\) und das Vorzeichen bei \(\cos'\)
Höhere Ableitungen
Zweite und dritte Ableitung, Beschleunigung, Krümmung
Übungen
Was gibt \(f'(x)\) geometrisch an?
Wie lautet die Ableitung von \(f(x) = x^3\)?
\(f(x) = x^2\). Wie groß ist die Steigung der Tangente im Punkt \((3 \mid 9)\)?
Für eine Funktion gilt \(f'(x) < 0\) für alle \(x\) zwischen 1 und 4. Was heißt das?
\(s(t) = 5t^2\) beschreibt einen Fall (Meter, Sekunden). Wie schnell ist der Körper nach 2 Sekunden?
\(f(x) = x^2 - 6x + 1\). An welcher Stelle hat der Graph eine waagrechte Tangente?