Alle Regeln auf einen Blick
| Regel | Formel | Beispiel |
|---|---|---|
| Konstante | \((c)' = 0\) | \((7)' = 0\) |
| Potenzregel | \((x^n)' = n \cdot x^{n-1}\) | \((x^5)' = 5x^4\) |
| Faktorregel | \((c \cdot f)' = c \cdot f'\) | \((4x^3)' = 12x^2\) |
| Summenregel | \((f \pm g)' = f' \pm g'\) | \((x^2 + 3x)' = 2x + 3\) |
| Produktregel | \((u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'\) | \((x \cdot e^x)' = e^x + x \cdot e^x\) |
| Quotientenregel | \(\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}\) | \(\left(\dfrac{x}{x+1}\right)' = \dfrac{1}{(x+1)^2}\) |
| Kettenregel | \((f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)\) | \(((2x+1)^3)' = 3(2x+1)^2 \cdot 2\) |
Für die Matura: Der Grundkompetenzkatalog verlangt in AN 2.1 nur Potenzregel, Summenregel sowie die Regeln für \([k \cdot f(x)]'\) und \([f(k \cdot x)]'\). Produkt-, Quotienten- und Kettenregel sind Stoff der 7. Klasse und kommen bei Schularbeiten dran; bei der Matura dürfen dafür laut Katalog elektronische Hilfsmittel eingesetzt werden.
Potenzregel
gilt für jeden reellen Exponenten \(n\)
Der Exponent wandert als Faktor nach vorne und wird um 1 kleiner. Die Regel gilt nicht nur für \(x^2\) und \(x^3\), sondern auch für negative und gebrochene Exponenten - dort passieren die meisten Fehler, weil man den Bruch oder den Kehrwert zuerst als Potenz schreiben muss:
| Funktion | als Potenz | Ableitung | gewohnte Schreibweise |
|---|---|---|---|
| \(x^4\) | \(x^4\) | \(4x^3\) | \(4x^3\) |
| \(x\) | \(x^1\) | \(1 \cdot x^0\) | \(1\) |
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(x^{-1}\) | \(-1 \cdot x^{-2}\) | \(-\dfrac{1}{x^2}\) |
| \(\dfrac{1}{x^2}\) | \(x^{-2}\) | \(-2 \cdot x^{-3}\) | \(-\dfrac{2}{x^3}\) |
| \(\sqrt{x}\) | \(x^{1/2}\) | \(\dfrac{1}{2} \cdot x^{-1/2}\) | \(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) |
Eine Konstante allein hat die Ableitung 0 - sie ändert sich nicht, also ist ihre Änderungsrate null. Das passt zur Potenzregel mit \(c = c \cdot x^0\): Der Exponent 0 wandert nach vorne und macht alles zu null.
Faktorregel und Summenregel
Diese beiden Regeln sagen, dass man beim Ableiten Summand für Summand vorgehen darf und konstante Faktoren einfach stehen lässt:
Mit diesen drei Regeln - Potenz, Faktor, Summe - lässt sich jede Polynomfunktion ableiten. Das ist der Kern des Lehrplans der 7. Klasse und genau das, was AN 2.1 für die Matura verlangt.
Die Regel für \(f(k \cdot x)\)
Steht im Argument nicht \(x\), sondern ein Vielfaches \(k \cdot x\), kommt beim Ableiten der Faktor \(k\) dazu:
- \((e^{3x})' = 3 \cdot e^{3x}\)
- \((\sin(2x))' = 2 \cdot \cos(2x)\)
- \(((5x)^2)' = 5 \cdot 2 \cdot (5x) = 50x\) - Kontrolle: \((5x)^2 = 25x^2\), Ableitung \(50x\)
Das ist der einfachste Fall der Kettenregel: Die „innere Ableitung" von \(k \cdot x\) ist \(k\). Bei Wachstums- und Zerfallsfunktionen \(a \cdot e^{\lambda t}\) ist genau das der Grund, warum \(\lambda\) in der Ableitung als Faktor auftaucht.
Produktregel
Ein Produkt zweier Funktionen darf man nicht faktorweise ableiten. \(x \cdot x = x^2\) hat die Ableitung \(2x\), aber \(1 \cdot 1 = 1\) - das wäre falsch. Richtig ist:
Merkregel: Ableitung des Ersten mal das Zweite, plus das Erste mal Ableitung des Zweiten.
Bei Produkten aus Polynomen kann man also wählen. Die Produktregel braucht man erst dann zwingend, wenn ein Faktor keine Potenz ist - wie \(\sin(x)\) oder \(e^x\) in Beispiel 1.
Quotientenregel
Merkregel: „NAZ minus ZAN durch N-Quadrat" - Nenner mal Ableitung des Zählers, minus Zähler mal Ableitung des Nenners, durch Nenner zum Quadrat. Auf die Reihenfolge kommt es an: Anders als bei der Produktregel steht hier ein Minus, und Vertauschen dreht das Vorzeichen um.
Der Nenner wird nicht ausmultipliziert - \((x - 3)^2\) bleibt so stehen. Und wenn im Zähler nur eine Zahl steht, ist die Potenzregel kürzer: \(\frac{1}{x^2} = x^{-2}\) mit Ableitung \(-2x^{-3}\), ganz ohne Quotientenregel.
Kettenregel
Steckt eine Funktion in einer anderen - etwa \((2x + 1)^3\), wo \(2x + 1\) hoch drei genommen wird - leitet man außen ab und multipliziert mit der Ableitung von innen:
äußere Ableitung mal innere Ableitung
Ausführlich, mit \(e\)-Funktionen, Wurzeln und mehrfach verschachtelten Termen: Kettenregel.
Ableitungen der wichtigsten Funktionen
Die Regeln oben setzen Bausteine zusammen. Die Bausteine selbst muss man kennen:
| \(f(x)\) | \(f'(x)\) | Bemerkung |
|---|---|---|
| \(x^n\) | \(n \cdot x^{n-1}\) | Potenzregel |
| \(e^x\) | \(e^x\) | bis auf einen konstanten Faktor die einzige Funktion, die ihre eigene Ableitung ist |
| \(a^x\) | \(a^x \cdot \ln a\) | deshalb ist \(e\) die bequemste Basis |
| \(\ln x\) | \(\dfrac{1}{x}\) | für \(x > 0\) |
| \(\sin x\) | \(\cos x\) | \(x\) im Bogenmaß |
| \(\cos x\) | \(-\sin x\) | das Minus wird oft vergessen |
Mit Herleitung und Beispielen: Exponential- und Logarithmusfunktionen ableiten, Sinus und Cosinus ableiten.
Welche Regel wann?
| Die Funktion ist … | Beispiel | Regel |
|---|---|---|
| eine Summe von Potenzen | \(3x^4 - 7x^2 + 2x\) | Potenz + Faktor + Summe |
| ein Produkt zweier verschiedener Funktionstypen | \(x^2 \cdot e^x\) | Produktregel |
| ein Bruch mit \(x\) im Nenner | \(\dfrac{x^2 + 1}{x - 3}\) | Quotientenregel |
| ein Bruch mit nur einer Zahl im Zähler | \(\dfrac{5}{x^3}\) | als \(5x^{-3}\) schreiben, Potenzregel |
| etwas „in" etwas anderem | \(\sqrt{x^2 + 1}\), \(e^{3x}\) | Kettenregel |
Typische Fehler
- Produkt faktorweise ableiten: \((x \cdot \sin x)' \neq 1 \cdot \cos x\). Richtig: \(\sin x + x \cos x\).
- Bei der Quotientenregel Zähler und Nenner vertauschen: \(u'v - uv'\), nicht \(uv' - u'v\). Das Ergebnis hätte das falsche Vorzeichen.
- Innere Ableitung vergessen: \((e^{3x})' = 3e^{3x}\), nicht \(e^{3x}\). Bei \((\sin(2x))'\) fehlt ohne die 2 die Hälfte.
- Konstante nicht zu 0: \((x^2 + 7)' = 2x\). Die 7 verschwindet, sie wird nicht zu 1.
- Negativer Exponent falsch verkleinert: \((x^{-2})' = -2x^{-3}\). Der Exponent wird um 1 kleiner, also von \(-2\) auf \(-3\) - nicht auf \(-1\).
Übungen
Berechne die Ableitung von \(f(x) = 3x^4 - 7x^2 + 2x\).
Was ist die Ableitung von \(f(x) = \dfrac{1}{x}\)?
Leite \(f(x) = x^2 \cdot e^x\) ab.
Berechne die Ableitung von \(f(x) = \dfrac{x}{x + 1}\).
Leite \(f(x) = (2x + 1)(x^2 - 3)\) ab und vereinfache.
Was ist die Ableitung von \(f(x) = e^{4x}\)?