Produktregel: Formel, Herleitung, Beispiele mit Probe

Die Regel

Produktregel

\((u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'\)

Merkregel: „Erster abgeleitet mal Zweiter, plus Erster mal Zweiter abgeleitet." Welcher Faktor der erste ist, spielt keine Rolle - beide Summanden tauchen in jedem Fall auf.

Die Probe mit \(x \cdot x\): \(u = x\), \(v = x\), \(u' = v' = 1\), also \((x \cdot x)' = 1 \cdot x + x \cdot 1 = 2x\). Genau die Ableitung von \(x^2\).

Woher die Regel kommt

Die Ableitung ist der Grenzwert des Differenzenquotienten. Für das Produkt \(u(x) \cdot v(x)\) lautet er

\(\dfrac{u(x+h) \cdot v(x+h) - u(x) \cdot v(x)}{h}\)

Der Trick: Im Zähler wird \(u(x+h) \cdot v(x)\) einmal subtrahiert und einmal addiert. Das ändert nichts am Wert, lässt den Bruch aber in zwei Teile zerfallen:

\(u(x+h) \cdot \dfrac{v(x+h) - v(x)}{h} + v(x) \cdot \dfrac{u(x+h) - u(x)}{h}\)

Lässt man \(h\) gegen 0 gehen, wird der erste Bruch zu \(v'(x)\), der zweite zu \(u'(x)\), und \(u(x+h)\) wird zu \(u(x)\). Übrig bleibt \(u \cdot v' + v \cdot u'\) - die Produktregel. Die beiden Summanden entsprechen den beiden Faktoren, die sich bei kleiner Änderung von \(x\) jeweils ein wenig ändern, während der andere festgehalten wird.

Beispiele mit Probe

Beispiel 1: \(f(x) = x \cdot e^x\)

\(u = x\), \(u' = 1\); \(v = e^x\), \(v' = e^x\)

\(f'(x) = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x \cdot (1 + x)\)

Beispiel 2: \(f(x) = (3x + 2)(x^2 - 1)\), mit Probe durch Ausmultiplizieren

\(u = 3x + 2\), \(u' = 3\); \(v = x^2 - 1\), \(v' = 2x\)

\(f'(x) = 3 \cdot (x^2 - 1) + (3x + 2) \cdot 2x = 3x^2 - 3 + 6x^2 + 4x = 9x^2 + 4x - 3\)

Probe: Ausmultipliziert ist \(f(x) = 3x^3 + 2x^2 - 3x - 2\), und die Potenzregel liefert \(f'(x) = 9x^2 + 4x - 3\). Beide Wege stimmen überein.

Beispiel 3: \(f(x) = x^2 \cdot \ln(x)\)

\(u = x^2\), \(u' = 2x\); \(v = \ln(x)\), \(v' = \frac{1}{x}\)

\(f'(x) = 2x \cdot \ln(x) + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \cdot \ln(x) + x\)

Beispiel 4: \(f(x) = x^3 \cdot \cos(x)\)

\(u = x^3\), \(u' = 3x^2\); \(v = \cos(x)\), \(v' = -\sin(x)\)

\(f'(x) = 3x^2 \cdot \cos(x) + x^3 \cdot (-\sin(x)) = 3x^2 \cos(x) - x^3 \sin(x)\)

Das Minus in Beispiel 4 kommt aus der Ableitung des Cosinus, nicht aus der Produktregel. Die Regel selbst hat immer ein Plus zwischen den beiden Summanden; das unterscheidet sie von der Quotientenregel.

Drei Faktoren

Wendet man die Produktregel zweimal an, ergibt sich für drei Faktoren: Jeder Faktor wird einmal abgeleitet, die anderen bleiben stehen, und alles wird addiert.

Produktregel für drei Faktoren

\((u \cdot v \cdot w)' = u' v w + u v' w + u v w'\)

Beispiel 5: \(f(x) = x \cdot \sin(x) \cdot e^x\)

\(f'(x) = 1 \cdot \sin(x) \cdot e^x + x \cdot \cos(x) \cdot e^x + x \cdot \sin(x) \cdot e^x\)

Herausheben: \(f'(x) = e^x \cdot \big(\sin(x) + x \cos(x) + x \sin(x)\big)\)

Mit der Kettenregel kombiniert

Ist einer der Faktoren eine verkettete Funktion, braucht seine Ableitung die Kettenregel. Die Produktregel bleibt außen, die Kettenregel arbeitet innen.

Beispiel 6: \(f(x) = x \cdot e^{2x}\)

\(u = x\), \(u' = 1\); \(v = e^{2x}\), mit Kettenregel \(v' = e^{2x} \cdot 2 = 2e^{2x}\)

\(f'(x) = 1 \cdot e^{2x} + x \cdot 2e^{2x} = e^{2x} \cdot (1 + 2x)\)

Das Herausheben des gemeinsamen Faktors am Ende ist nicht Pflicht, aber nützlich: Für Nullstellen der Ableitung, etwa bei einer Extremwertaufgabe, sieht man sofort, dass \(e^{2x}\) nie 0 wird und nur \(1 + 2x = 0\) bleibt, also \(x = -\frac{1}{2}\).

Wann man die Produktregel nicht braucht

Produkt zweier Polynome: \((x + 1)(x - 2)\) wird ausmultipliziert zu \(x^2 - x - 2\) und mit der Potenzregel abgeleitet. Die Produktregel ist hier nur ein Umweg - als Probe aber wertvoll.
Konstanter Faktor: \(5 \cdot \sin(x)\) hat die Ableitung \(5 \cdot \cos(x)\) nach der Faktorregel. Die Produktregel würde \(0 \cdot \sin(x) + 5 \cos(x)\) liefern - richtig, aber umständlich.
Potenzen desselben Faktors: \(x^2 \cdot x^3 = x^5\), Ableitung \(5x^4\). Erst zusammenfassen, dann ableiten.

Die Produktregel ist dann nötig, wenn sich das Produkt nicht in eine Summe umschreiben lässt: bei \(x \cdot e^x\), \(x^2 \cdot \ln(x)\), \(\sin(x) \cdot \cos(x)\).

Was die Matura verlangt

Der Grundkompetenzkatalog nennt in AN 2.1 nur die Potenzregel, die Summenregel und die Regel für einen konstanten Faktor. Die Produktregel gehört nicht dazu: Bei der standardisierten Reifeprüfung muss keine Funktion der Form \(x \cdot e^x\) abgeleitet werden. Im Unterricht der 7. Klasse ist sie trotzdem Pflichtstoff („weitere Ableitungsregeln kennen und für Funktionsuntersuchungen verwenden"), und bei Schularbeiten wird sie regelmäßig gebraucht - zum Beispiel, um Extremstellen von Produkten mit Exponentialfunktionen zu bestimmen. Alle Regeln im Überblick und die Entscheidung, welche wann greift, stehen bei den Ableitungsregeln.

Die häufigsten Fehler

Faktorweise abgeleitet: \((x \cdot e^x)' = 1 \cdot e^x\). Falsch, der zweite Summand \(x \cdot e^x\) fehlt.
Nur ein Summand: \(u' \cdot v\) allein ist nicht die Ableitung. Beide Faktoren kommen einmal abgeleitet dran.
Ableitung von \(\ln(x)\) falsch: \((\ln x)' = \frac{1}{x}\), nicht \(\frac{1}{\ln x}\) und nicht \(\ln(x)\).
Vorzeichen des Cosinus: \((\cos x)' = -\sin x\). Das Minus gehört in den zweiten Summanden, die Produktregel selbst hat ein Plus.
Innere Ableitung vergessen: Bei \(e^{2x}\) fehlt der Faktor 2. Produktregel und Kettenregel schließen einander nicht aus.
Nicht zusammengefasst: \(e^x + x e^x\) ist richtig, \(e^x(1 + x)\) ist dasselbe und für alles Weitere praktischer.