Definition und Notation

Die zweite Ableitung ist die Ableitung der ersten Ableitung, die dritte Ableitung ist die Ableitung der zweiten, und so weiter.

Notation höherer Ableitungen:

Erste Ableitung: \(f'(x)\) oder \(\frac{df}{dx}\)

Zweite Ableitung: \(f''(x)\) oder \(\frac{d^2f}{dx^2}\)

Dritte Ableitung: \(f'''(x)\) oder \(\frac{d^3f}{dx^3}\)

n-te Ableitung: \(f^{(n)}(x)\) oder \(\frac{d^nf}{dx^n}\)

Hinweis: Ab der vierten Ableitung schreibt man \(f^{(4)}(x)\) statt \(f''''(x)\), um die Übersicht zu behalten.

Berechnung höherer Ableitungen

Beispiel 1: \(f(x) = x^5 - 3x^3 + 2x\)
1
\(f'(x) = 5x^4 - 9x^2 + 2\)
2
\(f''(x) = 20x^3 - 18x\)
3
\(f'''(x) = 60x^2 - 18\)
4
\(f^{(4)}(x) = 120x\)
5
\(f^{(5)}(x) = 120\)
6
\(f^{(6)}(x) = 0\) (und alle weiteren Ableitungen sind ebenfalls 0)

Wichtig: Bei einem Polynom vom Grad \(n\) sind alle Ableitungen ab der \((n+1)\)-ten gleich Null.

Beispiel 2: \(f(x) = e^{2x}\)

\(f'(x) = 2e^{2x}\)

\(f''(x) = 4e^{2x}\)

\(f'''(x) = 8e^{2x}\)

Allgemein: \(f^{(n)}(x) = 2^n \cdot e^{2x}\)

Die Exponentialfunktion liefert bei jedem Ableiten nur einen neuen Faktor -- sie wird nie Null!

Physikalische Bedeutung

In der Physik haben höhere Ableitungen einer Weg-Zeit-Funktion \(s(t)\) eine anschauliche Bedeutung:

Zusammenhang Weg -- Geschwindigkeit -- Beschleunigung:

  • \(s(t)\) = Weg (Position)
  • \(s'(t) = v(t)\) = Geschwindigkeit (erste Ableitung)
  • \(s''(t) = v'(t) = a(t)\) = Beschleunigung (zweite Ableitung)
  • \(s'''(t) = a'(t) = j(t)\) = Ruck (dritte Ableitung)
Beispiel: Freier Fall

Weg: \(s(t) = \frac{1}{2}g \cdot t^2 = 4{,}905 \cdot t^2\) (mit \(g \approx 9{,}81 \, \text{m/s}^2\))

Geschwindigkeit: \(v(t) = s'(t) = 9{,}81 \cdot t\) (in m/s)

Beschleunigung: \(a(t) = s''(t) = 9{,}81\) (in m/s², konstant!)

Ruck: \(j(t) = s'''(t) = 0\) (keine Änderung der Beschleunigung)

Bedeutung für die Kurvendiskussion

Rolle der Ableitungen bei der Kurvendiskussion:

  • \(f'(x) = 0\): Mögliche Extremstellen (Hoch-/Tiefpunkte)
  • \(f''(x)\): Bestimmt die Krümmung und ob ein Extremum vorliegt
  • \(f''(x) = 0\): Mögliche Wendepunkte
  • \(f'''(x)\): Bestätigt Wendepunkte (wenn \(f'''(x) \neq 0\))

Merke: \(f''(x) > 0\) bedeutet Linkskrümmung („Talform"), \(f''(x) < 0\) bedeutet Rechtskrümmung („Bergform"). An Wendepunkten wechselt die Krümmung.

Übungen

Aufgabe 1Leicht

Berechne \(f''(x)\) für \(f(x) = x^4\).

Aufgabe 2Leicht

Die zweite Ableitung der Weg-Zeit-Funktion \(s(t)\) beschreibt physikalisch...

Aufgabe 3Mittel

Wie lautet die dritte Ableitung von \(f(x) = 2x^5 + x^3\)?

Aufgabe 4Mittel

Wie lautet \(f''(x)\) für \(f(x) = e^x\)?

Aufgabe 5Schwer

Ab welcher Ableitung ist \(f^{(n)}(x) = 0\) für das Polynom \(f(x) = 3x^4 - x^2 + 7\)?