Ableitungsregeln vertieft - Erklärung & Beispiele

Summenregel

Die Ableitung einer Summe ist die Summe der Ableitungen. Das gilt auch für Differenzen.

Summenregel:

\[\left[ f(x) \pm g(x) \right]' = f'(x) \pm g'(x)\]

Beispiel

\(h(x) = x^3 + 5x^2 - 2x + 7\)

\(h'(x) = 3x^2 + 10x - 2\)

Jeder Summand wird einzeln abgeleitet.

Ein konstanter Faktor bleibt beim Ableiten erhalten.

Faktorregel:

\[\left[ c \cdot f(x) \right]' = c \cdot f'(x)\]

Beispiel

\(f(x) = 5x^4\)

\(f'(x) = 5 \cdot 4x^3 = 20x^3\)

Ist eine Funktion ein Produkt zweier Funktionen, kann man sie nicht einfach einzeln ableiten. Man braucht die Produktregel.

Produktregel:

\[\left[ u(x) \cdot v(x) \right]' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\]

Merkregel: "Ableitung des Ersten mal Zweites plus Erstes mal Ableitung des Zweiten."

Beispiel: \(f(x) = x^2 \cdot \sin(x)\)

Faktoren bestimmen: \(u(x) = x^2\), \(v(x) = \sin(x)\)

Ableitungen: \(u'(x) = 2x\), \(v'(x) = \cos(x)\)

Produktregel anwenden: \(f'(x) = 2x \cdot \sin(x) + x^2 \cdot \cos(x)\)

Für den Quotienten zweier Funktionen gilt eine eigene Regel.

Quotientenregel:

\[\left[ \frac{u(x)}{v(x)} \right]' = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{\left[v(x)\right]^2}\]

Merkregel: "NAZ minus ZAN durch N Quadrat" (N = Nenner, Z = Zähler, A = Ableitung).

Beispiel: \(f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 3}\)

Zähler und Nenner: \(u(x) = x^2 + 1\), \(v(x) = x - 3\)

Ableitungen: \(u'(x) = 2x\), \(v'(x) = 1\)

Quotientenregel: \(f'(x) = \frac{2x \cdot (x-3) - (x^2+1) \cdot 1}{(x-3)^2}\)

Vereinfachen: \(f'(x) = \frac{2x^2 - 6x - x^2 - 1}{(x-3)^2} = \frac{x^2 - 6x - 1}{(x-3)^2}\)

Zusammenfassung:

Summenregel: \((f + g)' = f' + g'\)
Faktorregel: \((c \cdot f)' = c \cdot f'\)
Produktregel: \((u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'\)
Quotientenregel: \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}\)