Die Grundregel: Wurzel = Potenz

Die \( n \)-te Wurzel einer Zahl \( a \) kann als Potenz mit dem Exponenten \( \frac{1}{n} \) geschrieben werden:

Wurzel als Potenz

\( \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} \quad (a > 0, \, n \in \mathbb{N}, \, n \geq 2) \)

Spezialfall Quadratwurzel: \( \sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} \)

Kubikwurzel: \( \sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}} \)

Allgemeiner gilt für Wurzeln mit einer Potenz unter dem Wurzelzeichen:

Allgemeine Umrechnung

\( \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} \)

Umrechnung: Wurzel in Potenz und zurück

Beispiele: Wurzel → Potenz

\( \sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}} \)

\( \sqrt[3]{7} = 7^{\frac{1}{3}} \)

\( \sqrt[4]{x^3} = x^{\frac{3}{4}} \)

\( \sqrt{x^5} = x^{\frac{5}{2}} \)

Beispiele: Potenz → Wurzel

\( a^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{a} \)

\( x^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{x^2} \)

\( 2^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{2^3} = \sqrt[4]{8} \)

Rechenregeln für Wurzeln

Durch die Potenzschreibweise können alle Potenzgesetze auf Wurzeln angewendet werden:

Produktregel für Wurzeln
\( \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b} \)

Beweis mit Potenzen: \( a^{\frac{1}{n}} \cdot b^{\frac{1}{n}} = (a \cdot b)^{\frac{1}{n}} \) (Potenzgesetz: gleicher Exponent)

Quotientenregel für Wurzeln
\( \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} \quad (b \neq 0) \)
Verschachtelte Wurzeln
\( \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a} = a^{\frac{1}{m \cdot n}} \)

Beweis: \( \left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{\frac{1}{m}} = a^{\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{m}} = a^{\frac{1}{mn}} \)

Tipp: Wurzelausdrücke lassen sich oft einfacher in Potenzschreibweise vereinfachen. Wandle die Wurzeln um, wende die Potenzgesetze an und wandle am Ende ggf. zurück.

Vereinfachen von Wurzelausdrücken

Beispiel 1

Vereinfache: \( \sqrt{x} \cdot \sqrt[3]{x} \)

1
In Potenzschreibweise: \( x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{3}} \)
2
Produktregel (gleiche Basis): \( x^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}} = x^{\frac{3+2}{6}} = x^{\frac{5}{6}} \)
3
Ergebnis: \( x^{\frac{5}{6}} = \sqrt[6]{x^5} \)
Beispiel 2

Vereinfache: \( \frac{\sqrt[3]{a^5}}{\sqrt[3]{a^2}} \)

1
In Potenzschreibweise: \( \frac{a^{\frac{5}{3}}}{a^{\frac{2}{3}}} \)
2
Quotientenregel: \( a^{\frac{5}{3}-\frac{2}{3}} = a^{\frac{3}{3}} = a^1 = a \)

Übungen

Aufgabe 1Leicht

Schreibe \( \sqrt[4]{x} \) als Potenz.

Aufgabe 2Leicht

Berechne: \( 16^{\frac{1}{2}} \)

Aufgabe 3Mittel

Vereinfache: \( \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a^2} \)

Aufgabe 4Schwer

Vereinfache: \( \sqrt{\sqrt[3]{64}} \)