Überblick
Das Rechnen mit Potenzen und Logarithmen bildet die Grundlage für viele Bereiche der höheren Mathematik. Die Potenzschreibweise ermöglicht eine kompakte Darstellung wiederholter Multiplikation und wird auf rationale Exponenten erweitert, um auch Wurzeln einheitlich zu behandeln. Der Logarithmus ist die Umkehroperation des Potenzierens und dient unter anderem zum Lösen von Exponentialgleichungen.
Zusammenhang: Potenzieren, Radizieren (Wurzelziehen) und Logarithmieren sind drei Seiten derselben Medaille: \( b^y = x \iff \sqrt[y]{x} = b \iff \log_b(x) = y \)
Potenzgesetze
Die Potenzgesetze beschreiben, wie man mit Potenzen rechnet. Sie gelten für ganzzahlige und rationale Exponenten gleichermaßen.
\( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)
\( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)
\( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)
Logarithmus
Der Logarithmus beantwortet die Frage: „Mit welchem Exponenten muss ich die Basis potenzieren, um eine bestimmte Zahl zu erhalten?" Er ist damit die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion.
\( \log_b(x) = y \iff b^y = x \quad (b > 0, \, b \neq 1, \, x > 0) \)
Alle Themen zu Potenzen & Logarithmen
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Potenzgesetze (Oberstufe)
Ganzzahlige und rationale Exponenten, alle Gesetze mit Beweisen
Wurzeln als Potenzen
Rationale Exponenten, Umrechnung von Wurzeln in Potenzschreibweise
Logarithmus – Definition
Bedeutung, Zusammenhang mit Potenzen, Beispiele
Logarithmengesetze
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lg, ln, Eigenschaften und Anwendungen
Exponentialgleichungen
Gleichungen mit Logarithmen lösen, Schritt-für-Schritt