Aufbau eines 3x3-Gleichungssystems

Ein lineares Gleichungssystem mit drei Variablen \( x, y, z \) besteht aus drei Gleichungen:

Allgemeine Form

\( \text{I:} \quad a_1 x + b_1 y + c_1 z = d_1 \)

\( \text{II:} \quad a_2 x + b_2 y + c_2 z = d_2 \)

\( \text{III:} \quad a_3 x + b_3 y + c_3 z = d_3 \)

Ziel: Werte für \( x, y, z \) finden, die alle drei Gleichungen gleichzeitig erfüllen.

Geometrische Deutung: Jede Gleichung beschreibt eine Ebene im Raum. Die Lösung ist der Schnittpunkt aller drei Ebenen.

Gaußsches Eliminationsverfahren

Das Gaußsche Verfahren bringt das System in Stufenform (Dreiecksform), aus der man die Lösung rückwärts ablesen kann:

  1. Vorwärtselimination: Durch Addition geeigneter Vielfacher der Gleichungen wird \( x \) in Gleichung II und III eliminiert, dann \( y \) in Gleichung III.
  2. Rückwärtseinsetzen: Aus der letzten Gleichung \( z \) bestimmen, dann \( y \), dann \( x \).
Zielform (Stufenform)

\( \text{I':} \quad a_1 x + b_1 y + c_1 z = d_1 \)

\( \text{II':} \quad \phantom{a_1 x +{}} b_2' y + c_2' z = d_2' \)

\( \text{III':} \quad \phantom{a_1 x + b_1 y +{}} c_3' z = d_3' \)

Erlaubte Operationen: Gleichungen dürfen vertauscht, mit einer Zahl multipliziert und zueinander addiert/subtrahiert werden -- das ändert die Lösung nicht.

Vollständiges Beispiel

Gegeben

\( \text{I:} \quad x + y + z = 6 \)

\( \text{II:} \quad 2x + 3y + z = 14 \)

\( \text{III:} \quad x - y + 2z = 2 \)

Schritt 1: x in II und III eliminieren
1a
II' = II - 2·I: \( (2x+3y+z) - 2(x+y+z) = 14 - 12 \)
\( y - z = 2 \)
1b
III' = III - I: \( (x-y+2z) - (x+y+z) = 2 - 6 \)
\( -2y + z = -4 \)
Schritt 2: y in III' eliminieren
2
III'' = III' + 2·II': \( (-2y+z) + 2(y-z) = -4 + 4 \)
\( -z = 0 \Rightarrow z = 0 \)
Schritt 3: Rückwärtseinsetzen
3a
In II': \( y - 0 = 2 \Rightarrow y = 2 \)
3b
In I: \( x + 2 + 0 = 6 \Rightarrow x = 4 \)

Lösung: \( x = 4, \, y = 2, \, z = 0 \)

Probe in III: \( 4 - 2 + 2 \cdot 0 = 2 \) ✓

Lösungsfälle

Ein 3x3-System kann verschiedene Lösungsfälle haben:

Fall Bedeutung Erkennung
Eindeutige Lösung Genau ein Punkt \( (x, y, z) \) Stufenform vollständig erreichbar
Unendlich viele Lösungen Schnittgerade oder -ebene Eine Gleichung wird zu \( 0 = 0 \)
Keine Lösung Ebenen schneiden sich nicht in einem gemeinsamen Punkt Widerspruch wie \( 0 = 5 \)
Beispiel: Keine Lösung

Wenn beim Eliminieren eine Zeile \( 0x + 0y + 0z = 5 \) (also \( 0 = 5 \)) entsteht, hat das System keine Lösung. Die Gleichungen widersprechen sich.

Beispiel: Unendlich viele Lösungen

Wenn eine Zeile \( 0x + 0y + 0z = 0 \) (also \( 0 = 0 \)) entsteht, sind nur zwei Gleichungen unabhängig. Eine Variable bleibt frei wählbar (Parameter \( t \)).

Übungen

Aufgabe 1Leicht

Löse: I: \( x + y + z = 6 \), II: \( x - y + z = 2 \), III: \( x + y - z = 4 \). Was ist \( y \)?

Aufgabe 2Mittel

Löse: I: \( 2x + y - z = 3 \), II: \( x - y + 2z = 1 \), III: \( x + 3y - z = 6 \). Was ist \( x + y + z \)?

Aufgabe 3Mittel

Beim Gaußschen Eliminationsverfahren entsteht in der dritten Zeile \( 0 = 7 \). Was bedeutet das?

Aufgabe 4Schwer

Löse: I: \( x + 2y + 3z = 14 \), II: \( 2x + y + z = 7 \), III: \( 3x + 3y + 4z = 21 \). Was ist \( z \)?