Einsetzungsverfahren

Grundprinzip

Die Idee des Einsetzungsverfahrens ist einfach: Wenn wir wissen, dass eine Variable gleich einem bestimmten Ausdruck ist, können wir diese Variable überall durch diesen Ausdruck ersetzen.

Das Einsetzungsverfahren ist besonders praktisch, wenn eine der Gleichungen bereits nach einer Variable aufgelöst ist oder wenn eine Variable den Koeffizienten \( 1 \) oder \( -1 \) hat.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Variable isolieren: Löse eine der beiden Gleichungen nach einer Variable auf (z. B. \( y = \ldots \) oder \( x = \ldots \)).
2. Einsetzen: Setze den gefundenen Ausdruck für diese Variable in die andere Gleichung ein.
3. Gleichung lösen: Löse die entstandene Gleichung mit einer Unbekannten.
4. Rückeinsetzen: Setze den berechneten Wert in den Ausdruck aus Schritt 1 ein, um die zweite Variable zu berechnen.
5. Probe: Überprüfe die Lösung in beiden ursprünglichen Gleichungen.

Beispiel 1: Eine Gleichung ist bereits aufgelöst

Schritt 1: Gleichung I ist bereits nach \( y \) aufgelöst: \( y = 3x - 4 \)

Schritt 2: \( y \) in Gleichung II einsetzen:

Schritt 3: Rückeinsetzen in Gleichung I:

\( y = 3 \cdot 3 - 4 = 5 \)

Probe in Gleichung II: \( 2 \cdot 3 + 5 = 11 \) ✓

Beispiel 2: Erst umformen, dann einsetzen

Schritt 1: Gleichung II lässt sich leicht nach \( x \) auflösen (Koeffizient von \( x \) ist 1):

\( x = 1 + y \)

Schritt 2: In Gleichung I einsetzen:

Schritt 3: Rückeinsetzen: \( x = 1 + \frac{8}{3} = \frac{11}{3} \)

Tipps und häufige Fehler