Die drei Lösungsfälle im Überblick
Jede lineare Gleichung mit zwei Variablen beschreibt eine Gerade in der Ebene. Ein Gleichungssystem aus zwei solchen Gleichungen fragt nach den gemeinsamen Punkten zweier Geraden. Dabei gibt es genau drei Möglichkeiten:
| Lösungsfall | Grafisch | Algebraisch |
|---|---|---|
| Genau eine Lösung | Geraden schneiden sich in einem Punkt | Verschiedene Steigungen |
| Keine Lösung | Geraden sind parallel | Gleiche Steigung, verschiedene \( d \)-Werte |
| Unendlich viele Lösungen | Geraden sind identisch | Gleiche Steigung und gleicher \( d \)-Wert |
Fall 1: Genau eine Lösung
Der häufigste Fall: Die beiden Geraden haben unterschiedliche Steigungen und schneiden sich in genau einem Punkt. Die Koordinaten dieses Schnittpunkts sind die Lösung des Gleichungssystems.
\( \text{I:} \quad y = 2x + 1 \quad (k = 2) \)
\( \text{II:} \quad y = -x + 7 \quad (k = -1) \)
Die Steigungen sind verschieden (\( 2 \neq -1 \)), also gibt es genau einen Schnittpunkt.
Gleichsetzen: \( 2x + 1 = -x + 7 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2, \; y = 5 \)
Lösung: \( \mathbb{L} = \{(2 \mid 5)\} \)
Erkennung: Wenn du beim Lösen einen eindeutigen Wert für \( x \) (oder \( y \)) erhältst, hat das System genau eine Lösung.
Fall 2: Keine Lösung
Wenn die beiden Geraden die gleiche Steigung, aber unterschiedliche \( y \)-Achsenabschnitte haben, sind sie parallel und schneiden sich nie. Das Gleichungssystem hat dann keine Lösung.
\( \text{I:} \quad y = 3x + 2 \)
\( \text{II:} \quad y = 3x - 1 \)
Gleichsetzen: \( 3x + 2 = 3x - 1 \Rightarrow 2 = -1 \)
Das ist ein Widerspruch! Die Aussage \( 2 = -1 \) ist falsch.
Lösung: \( \mathbb{L} = \{ \} \) (leere Menge)
Erkennung: Wenn beim Lösen eine falsche Aussage wie \( 0 = 5 \) oder \( 3 = -1 \) entsteht, hat das System keine Lösung. Die Geraden sind parallel.
Fall 3: Unendlich viele Lösungen
Wenn beide Gleichungen dieselbe Gerade beschreiben, liegen alle Punkte dieser Geraden auf beiden Geraden. Es gibt dann unendlich viele Lösungen.
\( \text{I:} \quad y = 2x + 3 \)
\( \text{II:} \quad 2y = 4x + 6 \)
Gleichung II durch 2 dividieren: \( y = 2x + 3 \) -- das ist identisch mit Gleichung I!
Gleichsetzen: \( 2x + 3 = 2x + 3 \Rightarrow 0 = 0 \)
Das ist eine wahre Aussage, die immer gilt.
Lösung: \( \mathbb{L} = \{(x \mid 2x + 3) \; | \; x \in \mathbb{R}\} \)
Erkennung: Wenn beim Lösen eine wahre Aussage wie \( 0 = 0 \) oder \( 5 = 5 \) entsteht, hat das System unendlich viele Lösungen. Die Geraden sind identisch.
Lösungsfälle algebraisch erkennen
Bringe beide Gleichungen in die Form \( y = kx + d \):
\( \text{I:} \quad y = k_1 x + d_1 \)
\( \text{II:} \quad y = k_2 x + d_2 \)
- \( k_1 \neq k_2 \): genau eine Lösung (verschiedene Steigungen)
- \( k_1 = k_2 \) und \( d_1 \neq d_2 \): keine Lösung (parallele Geraden)
- \( k_1 = k_2 \) und \( d_1 = d_2 \): unendlich viele Lösungen (identische Geraden)
Übungen
Wie viele Lösungen hat das System \( y = 5x + 1 \) und \( y = 5x + 4 \)?
Beim Lösen eines LGS erhält man die Aussage \( 0 = 0 \). Was bedeutet das?
Wie viele Lösungen hat: \( 2x + y = 5 \) und \( 4x + 2y = 10 \)?
Welchen Lösungsfall hat das System \( 3x - 6y = 9 \) und \( x - 2y = 4 \)?