Grundidee des Gleichsetzungsverfahrens
Ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit zwei Variablen besteht aus zwei Gleichungen, die gleichzeitig erfüllt sein müssen. Beim Gleichsetzungsverfahren nutzen wir folgende Idee:
Wenn zwei Ausdrücke jeweils gleich derselben Variable sind, dann müssen sie auch untereinander gleich sein.
Wenn \( y = \text{Ausdruck}_1 \) und \( y = \text{Ausdruck}_2 \), dann gilt: \( \text{Ausdruck}_1 = \text{Ausdruck}_2 \)
Das Gleichsetzungsverfahren eignet sich besonders gut, wenn beide Gleichungen bereits nach derselben Variable aufgelöst sind oder sich leicht danach auflösen lassen.
Schritt-für-Schritt-Anleitung
So gehst du beim Gleichsetzungsverfahren vor:
- Beide Gleichungen nach derselben Variable auflösen: Wähle eine Variable (meistens \( y \)) und stelle beide Gleichungen so um, dass diese Variable allein auf einer Seite steht.
- Gleichsetzen: Setze die beiden Ausdrücke, die du für die gewählte Variable erhalten hast, einander gleich.
- Gleichung lösen: Löse die entstandene Gleichung mit nur einer Unbekannten.
- Zweite Variable berechnen: Setze den gefundenen Wert in eine der ursprünglichen Gleichungen ein und berechne die zweite Variable.
- Probe machen: Setze beide Werte in die andere Gleichung ein, um das Ergebnis zu überprüfen.
Beispiel 1: Einfaches Gleichsetzungsverfahren
Löse das folgende Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren:
\( \text{I:} \quad y = 2x + 1 \)
\( \text{II:} \quad y = -x + 7 \)
Schritt 1: Beide Gleichungen sind bereits nach \( y \) aufgelöst.
Schritt 2: Gleichsetzen der rechten Seiten:
\( 2x + 1 = -x + 7 \)
Schritt 3: Gleichung lösen:
\( 2x + 1 = -x + 7 \quad | +x \)
\( 3x + 1 = 7 \quad | -1 \)
\( 3x = 6 \quad | :3 \)
\( x = 2 \)
Schritt 4: \( x = 2 \) in Gleichung I einsetzen:
\( y = 2 \cdot 2 + 1 = 5 \)
Schritt 5 (Probe): In Gleichung II: \( y = -2 + 7 = 5 \) ✓
Lösung: \( x = 2 \) und \( y = 5 \), also der Schnittpunkt \( S(2 \mid 5) \)
Beispiel 2: Erst umformen, dann gleichsetzen
Löse das Gleichungssystem:
\( \text{I:} \quad 3x + y = 10 \)
\( \text{II:} \quad x - y = 2 \)
Schritt 1: Beide Gleichungen nach \( y \) auflösen:
\( \text{I:} \quad y = 10 - 3x \)
\( \text{II:} \quad y = x - 2 \)
Schritt 2: Gleichsetzen:
\( 10 - 3x = x - 2 \)
Schritt 3: Lösen:
\( 10 - 3x = x - 2 \quad | +3x \)
\( 10 = 4x - 2 \quad | +2 \)
\( 12 = 4x \quad | :4 \)
\( x = 3 \)
Schritt 4: \( y = 3 - 2 = 1 \)
Lösung: \( x = 3 \) und \( y = 1 \)
Wann ist das Gleichsetzungsverfahren günstig?
Das Gleichsetzungsverfahren ist besonders dann sinnvoll, wenn:
- Beide Gleichungen bereits in der Form \( y = \ldots \) vorliegen
- Sich beide Gleichungen leicht nach derselben Variable umstellen lassen
- Du den Schnittpunkt zweier Geraden bestimmen sollst
Wenn eine Gleichung schon nach einer Variable aufgelöst ist, die andere aber nicht, ist das Einsetzungsverfahren oft schneller. Wenn die Koeffizienten einer Variable gleich oder entgegengesetzt sind, bietet sich das Additionsverfahren an.
Übungen
Löse mit dem Gleichsetzungsverfahren: \( y = 3x \) und \( y = x + 4 \). Was ist \( x \)?
Gegeben: \( y = -2x + 10 \) und \( y = x + 1 \). Wie lautet der Schnittpunkt?
Löse: \( 2x + y = 8 \) und \( x - y = 1 \). Wie lautet \( y \)?
Löse: \( y = 4x - 5 \) und \( y = 4x + 2 \). Wie viele Lösungen hat das System?