Additionsverfahren - Erklärung & Beispiele

Grundidee

Das Additionsverfahren basiert auf einem einfachen Prinzip: Wenn wir zwei Gleichungen addieren (oder subtrahieren), erhalten wir eine neue, gültige Gleichung. Wählen wir die Gleichungen geschickt, fällt dabei eine Variable weg.

Ziel: Die Koeffizienten einer Variable sollen in beiden Gleichungen betragsmäßig gleich sein, aber unterschiedliche Vorzeichen haben. Beim Addieren hebt sich diese Variable dann auf.

Zum Beispiel: Wenn in einer Gleichung \( +3y \) und in der anderen \( -3y \) steht, ergibt die Addition der Gleichungen eine Gleichung ohne \( y \).

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Variable wählen: Wähle die Variable, die eliminiert werden soll.
Koeffizienten angleichen: Multipliziere eine oder beide Gleichungen mit geeigneten Faktoren, sodass die gewählte Variable entgegengesetzte Koeffizienten hat.
Gleichungen addieren: Addiere die Gleichungen. Die gewählte Variable fällt weg.
Gleichung lösen: Löse die verbleibende Gleichung nach der übrigen Variable.
Rückeinsetzen: Setze den Wert in eine der ursprünglichen Gleichungen ein.
Probe: Überprüfe die Lösung in der anderen Gleichung.

Beispiel 1: Koeffizienten passen bereits

\( \text{I:} \quad 2x + 3y = 13 \)

\( \text{II:} \quad 2x - 3y = 1 \)

Die Koeffizienten von \( y \) sind \( +3 \) und \( -3 \) -- sie sind bereits entgegengesetzt!

Addition: I + II

\( (2x + 3y) + (2x - 3y) = 13 + 1 \)

\( 4x = 14 \)

\( x = 3{,}5 \)

Rückeinsetzen in I: \( 2 \cdot 3{,}5 + 3y = 13 \Rightarrow 7 + 3y = 13 \Rightarrow y = 2 \)

Lösung: \( x = 3{,}5 \) und \( y = 2 \)

Beispiel 2: Erst multiplizieren, dann addieren

\( \text{I:} \quad 3x + 2y = 16 \)

\( \text{II:} \quad 5x + 4y = 28 \)

Wir wollen \( y \) eliminieren. Die Koeffizienten sind \( 2 \) und \( 4 \). Wir multiplizieren Gleichung I mit \( -2 \):

Rechnung

\( \text{I} \cdot (-2): \quad -6x - 4y = -32 \)

\( \text{II:} \quad \phantom{-}5x + 4y = 28 \)

Addition: \( -x = -4 \Rightarrow x = 4 \)

Rückeinsetzen in I: \( 3 \cdot 4 + 2y = 16 \Rightarrow 12 + 2y = 16 \Rightarrow y = 2 \)

Lösung: \( x = 4 \) und \( y = 2 \)

Wann ist das Additionsverfahren günstig?

Das Additionsverfahren eignet sich besonders, wenn:

Die Koeffizienten einer Variable bereits gleich oder entgegengesetzt sind
Sich die Koeffizienten durch einfache Multiplikation angleichen lassen
Keine der Gleichungen nach einer Variable aufgelöst ist
Brüche beim Auflösen nach einer Variable entstehen würden