Die Formel

Für ein beliebiges Dreieck mit den Seiten \(a\), \(b\), \(c\) und den gegenüberliegenden Winkeln \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) gilt:

Cosinussatz
\(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma)\)

Die gesuchte Seite steht links, der Winkel ist der den anderen beiden Seiten eingeschlossene Winkel.

Analog für die anderen Seiten:

Alle drei Varianten
\(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(\alpha)\)
\(b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos(\beta)\)
\(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma)\)

Zusammenhang mit Pythagoras: Bei einem rechtwinkligen Dreieck mit \(\gamma = 90°\) ist \(\cos(90°) = 0\), und der Cosinussatz vereinfacht sich zu \(c^2 = a^2 + b^2\) -- dem Satz des Pythagoras!

Wann verwende ich den Cosinussatz?

Der Cosinussatz ist das richtige Werkzeug in zwei Situationen:

FallGegebenGesuchtVorgehen
SWS Zwei Seiten und eingeschlossener Winkel Dritte Seite Direkt einsetzen
SSS Alle drei Seiten Ein Winkel Formel nach \(\cos(\gamma)\) umstellen
Nach dem Winkel umgestellt
\(\cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\)

Verwende diese Form, wenn du den Winkel aus drei bekannten Seiten berechnen willst.

Faustregel: Verwende den Cosinussatz, wenn kein Paar aus Seite und gegenüberliegendem Winkel bekannt ist. Verwende den Sinussatz, wenn ein solches Paar vorliegt.

Beispiel: Seite berechnen (SWS)

Beispiel: a = 7 cm, b = 9 cm, γ = 48°

Gesucht: Seite \(c\)

1
Formel: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma)\)
2
Einsetzen: \(c^2 = 7^2 + 9^2 - 2 \cdot 7 \cdot 9 \cdot \cos(48°)\)
3
Berechnen: \(c^2 = 49 + 81 - 126 \cdot 0{,}669 = 130 - 84{,}3 = 45{,}7\)
4
Wurzel: \(c = \sqrt{45{,}7} \approx 6{,}76\) cm

Beispiel: Winkel berechnen (SSS)

Beispiel: a = 5 cm, b = 8 cm, c = 10 cm

Gesucht: Winkel \(\gamma\) (gegenüber der längsten Seite \(c\))

1
Umgestellte Formel: \(\cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\)
2
Einsetzen: \(\cos(\gamma) = \frac{25 + 64 - 100}{2 \cdot 5 \cdot 8} = \frac{-11}{80} = -0{,}1375\)
3
Arcuscosinus: \(\gamma = \cos^{-1}(-0{,}1375) \approx 97{,}9°\)

Beachte: Ein negativer Cosinuswert bedeutet, dass der Winkel stumpf (> 90°) ist. Das ist kein Fehler -- es zeigt, dass das Dreieck stumpfwinklig ist!

Tipp: Berechne bei SSS immer zuerst den größten Winkel (gegenüber der längsten Seite). So erkennst du sofort, ob das Dreieck stumpfwinklig ist. Die restlichen Winkel können dann mit dem Sinussatz (schneller) oder der Winkelsumme berechnet werden.

Übungen

Teste dein Wissen zum Cosinussatz!

Aufgabe 1Leicht

Welcher Satz ergibt sich aus dem Cosinussatz, wenn \(\gamma = 90°\)?

Aufgabe 2Leicht

Wann verwendest du den Cosinussatz statt des Sinussatzes?

Aufgabe 3Mittel

Berechne \(c\): \(a = 6\), \(b = 8\), \(\gamma = 60°\). (gerundet)

Aufgabe 4Schwer

Ein Dreieck hat die Seiten \(a = 4\), \(b = 6\), \(c = 9\). Was ist \(\cos(\gamma)\)? (gerundet)

Aufgabe 5Schwer

Was bedeutet es, wenn \(\cos(\gamma)\) negativ ist?

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