Die Glockenkurve
Die Normalverteilung (auch Gauß-Verteilung) wird durch ihre glockenförmige Dichtefunktion beschrieben. Sie ist symmetrisch um den Erwartungswert \(\mu\) und wird durch zwei Parameter bestimmt.
\(\mu\) = Erwartungswert (Lage), \(\sigma\) = Standardabweichung (Streuung)
Schreibweise: \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\) bedeutet: \(X\) ist normalverteilt mit Erwartungswert \(\mu\) und Varianz \(\sigma^2\).
Die Körpergröße von erwachsenen Männern in Österreich ist annähernd normalverteilt mit \(\mu = 178\) cm und \(\sigma = 7\) cm.
\(X \sim N(178, 49)\)
Die meisten Männer sind zwischen 171 cm und 185 cm groß (ein \(\sigma\)-Bereich um \(\mu\)).
Parameter \(\mu\) und \(\sigma\)
Die beiden Parameter bestimmen Form und Lage der Glockenkurve:
| Parameter | Wirkung | Änderung |
|---|---|---|
| \(\mu\) (Erwartungswert) | Lage der Kurve | Verschiebt die Kurve nach links oder rechts |
| \(\sigma\) (Standardabweichung) | Breite der Kurve | Kleines \(\sigma\): schmal und hoch; großes \(\sigma\): breit und flach |
Eigenschaften der Normalverteilung:
- Symmetrisch um \(\mu\)
- Maximum bei \(x = \mu\)
- Wendepunkte bei \(x = \mu \pm \sigma\)
- Die Fläche unter der gesamten Kurve beträgt 1
Standardnormalverteilung
Die Standardnormalverteilung hat \(\mu = 0\) und \(\sigma = 1\). Jede Normalverteilung kann durch Standardisierung (z-Transformation) in die Standardnormalverteilung überführt werden.
Der z-Wert gibt an, wie viele Standardabweichungen \(x\) vom Erwartungswert entfernt ist.
Körpergröße: \(\mu = 178\) cm, \(\sigma = 7\) cm. Ein Mann ist 192 cm groß.
\(z = \frac{192 - 178}{7} = \frac{14}{7} = 2\)
Er ist 2 Standardabweichungen über dem Durchschnitt.
Die 68-95-99,7-Regel
Diese wichtige Faustregel gibt an, welcher Anteil der Werte in bestimmten Bereichen um den Erwartungswert liegt:
\(P(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) \approx 95{,}4\%\)
\(P(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma) \approx 99{,}7\%\)
Körpergröße: \(\mu = 178\) cm, \(\sigma = 7\) cm.
Ca. 68 % der Männer sind zwischen \(178 - 7 = 171\) cm und \(178 + 7 = 185\) cm groß.
Ca. 95 % sind zwischen \(178 - 14 = 164\) cm und \(178 + 14 = 192\) cm groß.
Ca. 99,7 % sind zwischen \(178 - 21 = 157\) cm und \(178 + 21 = 199\) cm groß.
Übungen
Welche Parameter bestimmen die Normalverteilung?
Wie groß ist nach der 68-95-99,7-Regel der Anteil der Werte im Bereich \([\mu - 2\sigma; \mu + 2\sigma]\)?
\(X \sim N(100, 225)\). Wie groß ist die Standardabweichung \(\sigma\)?
\(X \sim N(50, 16)\). Berechne den z-Wert für \(x = 58\).
Die Füllmenge einer Maschine ist normalverteilt mit \(\mu = 500\) ml und \(\sigma = 5\) ml. In welchem Bereich liegen ca. 99,7 % aller Füllungen?