Grundprinzip
Beim Hypothesentest wird eine Hypothese (Behauptung) über einen Parameter der Grundgesamtheit aufgestellt und anhand einer Stichprobe überprüft. Das Ergebnis ist entweder „Hypothese beibehalten" oder „Hypothese verwerfen".
Behauptung: Eine Münze ist fair (\(p = 0{,}5\)).
Test: Die Münze wird 100-mal geworfen. Ergebnis: 62-mal Kopf.
Frage: Ist das noch mit einer fairen Münze vereinbar, oder ist die Münze gezinkt?
Null- und Alternativhypothese
\(H_1\): Alternativhypothese – Gegenteil von \(H_0\)
Die Nullhypothese wird so lange beibehalten, bis genügend Evidenz dagegen vorliegt.
| Art des Tests | \(H_0\) | \(H_1\) |
|---|---|---|
| Zweiseitiger Test | \(p = p_0\) | \(p \neq p_0\) |
| Linksseitiger Test | \(p \geq p_0\) | \(p < p_0\) |
| Rechtsseitiger Test | \(p \leq p_0\) | \(p > p_0\) |
Ein Hersteller behauptet, dass mindestens 90 % seiner Produkte einwandfrei sind.
\(H_0: p \geq 0{,}9\) (Behauptung stimmt)
\(H_1: p < 0{,}9\) (Behauptung stimmt nicht – linksseitiger Test)
Signifikanzniveau \(\alpha\)
Das Signifikanzniveau \(\alpha\) ist die maximale Wahrscheinlichkeit, mit der man bereit ist, die Nullhypothese fälschlicherweise zu verwerfen.
Entscheidungsregel: Fällt das Stichprobenergebnis in den Ablehnungsbereich (kritischer Bereich), wird \(H_0\) verworfen. Fällt es in den Annahmebereich, wird \(H_0\) beibehalten.
\(H_0: p = 0{,}5\), \(n = 100\), \(\alpha = 5\%\) (zweiseitig).
\(X \sim B(100; 0{,}5)\), also \(E(X) = 50\), \(\sigma \approx 5\).
Ablehnungsbereich: \(X \leq 40\) oder \(X \geq 60\) (ungefähr).
Bei 62-mal Kopf wird \(H_0\) verworfen – die Münze ist wahrscheinlich nicht fair.
Fehler 1. und 2. Art
Bei einem Hypothesentest können zwei Arten von Fehlern auftreten:
| \(H_0\) ist wahr | \(H_0\) ist falsch | |
|---|---|---|
| \(H_0\) beibehalten | Richtige Entscheidung | Fehler 2. Art (\(\beta\)) |
| \(H_0\) verwerfen | Fehler 1. Art (\(\alpha\)) | Richtige Entscheidung |
Fehler 2. Art: \(H_0\) wird beibehalten, obwohl \(H_0\) falsch ist. Wahrscheinlichkeit: \(\beta\)
Zusammenhang: Ein kleineres \(\alpha\) (strengerer Test) führt zu einem größeren \(\beta\) und umgekehrt. Beide Fehler lassen sich nur gleichzeitig verringern, wenn der Stichprobenumfang \(n\) vergrößert wird.
Übungen
Was ist ein Fehler 1. Art?
Ein Hersteller behauptet: Ausschussrate \(\leq 3\%\). Welche Hypothesen sind passend?
Das Signifikanzniveau wird von \(\alpha = 5\%\) auf \(\alpha = 1\%\) gesenkt. Was passiert?
Bei einem Test mit \(\alpha = 5\%\) und \(n = 200\) Stichproben wird \(H_0: p = 0{,}5\) getestet. \(X = 115\). Was ist das Ergebnis? (Ablehnungsbereich: \(X \leq 86\) oder \(X \geq 114\))