Bernoulli-Kette
Eine Bernoulli-Kette der Länge \(n\) liegt vor, wenn ein Zufallsversuch mit genau zwei Ausgängen (Erfolg mit Wahrscheinlichkeit \(p\), Misserfolg mit \(1-p\)) \(n\)-mal unabhängig wiederholt wird.
Voraussetzungen für eine Bernoulli-Kette:
1. Genau zwei Ausgänge (Erfolg/Misserfolg)
2. Die Erfolgswahrscheinlichkeit \(p\) ist bei jedem Versuch gleich
3. Die einzelnen Versuche sind unabhängig voneinander
Eine Münze wird 10-mal geworfen. Erfolg = Kopf (\(p = 0{,}5\)).
Das ist eine Bernoulli-Kette der Länge \(n = 10\) mit \(p = 0{,}5\).
Binomialverteilung \(B(n, p)\)
Ist \(X\) die Anzahl der Erfolge in einer Bernoulli-Kette der Länge \(n\) mit Erfolgswahrscheinlichkeit \(p\), so ist \(X\) binomialverteilt: \(X \sim B(n, p)\).
\(k = 0, 1, 2, \ldots, n\) ist die Anzahl der Erfolge.
Dabei ist \(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}\) der Binomialkoeffizient, der angibt, auf wie viele Arten man \(k\) Erfolge auf \(n\) Versuche verteilen kann.
Ein Würfel wird 5-mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 2-mal eine 6 zu werfen?
\(n = 5\), \(p = \frac{1}{6}\), \(k = 2\)
\(P(X = 2) = \binom{5}{2} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^3 = 10 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{125}{216} = \frac{1250}{7776} \approx 0{,}161\)
Erwartungswert und Varianz
Für \(X \sim B(n, p)\) gelten besonders einfache Formeln:
Ein Test hat 20 Fragen mit je 4 Antwortmöglichkeiten. Ein Schüler rät bei jeder Frage.
\(n = 20\), \(p = \frac{1}{4} = 0{,}25\)
\(E(X) = 20 \cdot 0{,}25 = 5\) (im Schnitt 5 richtige Antworten durch Raten)
\(\sigma = \sqrt{20 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}75} = \sqrt{3{,}75} \approx 1{,}94\)
Kumulierte Wahrscheinlichkeiten
Häufig werden Wahrscheinlichkeiten der Form \(P(X \leq k)\) oder \(P(X \geq k)\) benötigt:
\(P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)\)
Ein Würfel wird 4-mal geworfen. Wie groß ist \(P(X \geq 1)\) für das Ereignis „6"?
\(P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - \binom{4}{0} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^0 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^4 = 1 - \frac{625}{1296} \approx 0{,}518\)
Übungen
Eine faire Münze wird 6-mal geworfen. \(X\) = Anzahl Kopf. Wie groß ist \(E(X)\)?
\(X \sim B(10; 0{,}3)\). Berechne \(P(X = 0)\).
Welche Bedingung muss für eine Bernoulli-Kette nicht erfüllt sein?
\(X \sim B(8; 0{,}4)\). Berechne die Varianz von \(X\).
Ein Würfel wird 3-mal geworfen. Wie groß ist \(P(X \geq 1)\) für „6 würfeln"?