Hypothesen aufstellen
Ein Signifikanztest beginnt immer mit zwei Hypothesen:
\(H_1\): Alternativhypothese (wird angenommen, wenn \(H_0\) verworfen wird)
Merke: Die Nullhypothese \(H_0\) enthält immer ein Gleichheitszeichen: \(p = p_0\), \(p \leq p_0\) oder \(p \geq p_0\). Die Alternativhypothese \(H_1\) ist das logische Gegenteil.
Behauptung: Eine Münze ist fair (\(p = 0{,}5\)).
\(H_0: p = 0{,}5\) (Münze ist fair)
\(H_1: p \neq 0{,}5\) (Münze ist nicht fair) \(\Rightarrow\) zweiseitiger Test
Einseitiger und zweiseitiger Test
Je nach Alternativhypothese unterscheidet man:
| Testart | \(H_1\) | Ablehnungsbereich |
|---|---|---|
| Rechtsseitiger Test | \(p > p_0\) | Große Werte von \(X\) |
| Linksseitiger Test | \(p < p_0\) | Kleine Werte von \(X\) |
| Zweiseitiger Test | \(p \neq p_0\) | Extreme Werte (oben und unten) |
Vorgehen beim Signifikanztest
Ein Signifikanztest folgt einem festen Schema:
5-Schritte-Schema:
1. Hypothesen aufstellen (\(H_0\) und \(H_1\))
2. Signifikanzniveau \(\alpha\) festlegen (typisch: 5 % oder 1 %)
3. Testgröße berechnen (Prüfgröße \(Z\))
4. Ablehnungsbereich bestimmen
5. Entscheidung treffen
Prüfgröße und Ablehnungsbereich
Für einen Binomialtest mit großem \(n\) wird die Prüfgröße mit der z-Transformation berechnet:
\(\hat{p} = \frac{k}{n}\) ist der Stichprobenanteil, \(p_0\) der Wert unter \(H_0\).
Die Entscheidungsregel lautet:
- Rechtsseitiger Test: Verwirf \(H_0\), wenn \(Z > z_{1-\alpha}\)
- Linksseitiger Test: Verwirf \(H_0\), wenn \(Z < -z_{1-\alpha}\)
- Zweiseitiger Test: Verwirf \(H_0\), wenn \(|Z| > z_{1-\frac{\alpha}{2}}\)
Ein Hersteller behauptet, höchstens 5 % seiner Produkte seien fehlerhaft. In einer Stichprobe von \(n = 200\) sind 18 Stück fehlerhaft. Teste zum Signifikanzniveau \(\alpha = 0{,}05\).
\(H_0: p \leq 0{,}05\), \(H_1: p > 0{,}05\) (rechtsseitiger Test)
\(\hat{p} = \frac{18}{200} = 0{,}09\)
\(Z = \frac{0{,}09 - 0{,}05}{\sqrt{\frac{0{,}05 \cdot 0{,}95}{200}}} = \frac{0{,}04}{0{,}0154} \approx 2{,}60\)
Kritischer Wert: \(z_{0{,}95} = 1{,}645\). Da \(2{,}60 > 1{,}645\), wird \(H_0\) verworfen.
Ergebnis: Die Fehlerquote ist signifikant höher als 5 %.
Fehler 1. und 2. Art
Beim Testen können zwei Arten von Fehlern auftreten:
| \(H_0\) ist wahr | \(H_0\) ist falsch | |
|---|---|---|
| \(H_0\) beibehalten | Richtige Entscheidung | Fehler 2. Art (\(\beta\)) |
| \(H_0\) verworfen | Fehler 1. Art (\(\alpha\)) | Richtige Entscheidung |
Merke: Das Signifikanzniveau \(\alpha\) ist die maximale Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art. Man kontrolliert \(\alpha\) direkt; \(\beta\) ergibt sich daraus.
Übungen
Was ist ein Fehler 1. Art?
Ein Hersteller behauptet, mindestens 80 % seiner Kunden seien zufrieden. Man möchte prüfen, ob der Anteil tatsächlich geringer ist. Welches Hypothesenpaar ist korrekt?
Bei einem zweiseitigen Test mit \(\alpha = 0{,}05\) liegt der Ablehnungsbereich bei \(|Z| > \ldots\)?
In einer Stichprobe mit \(n = 300\) zeigen 105 eine bestimmte Eigenschaft. Teste \(H_0: p = 0{,}30\) gegen \(H_1: p > 0{,}30\) mit \(\alpha = 0{,}05\). Wie lautet die Prüfgröße \(Z\)?
Im vorherigen Beispiel (\(Z \approx 1{,}89\), \(\alpha = 0{,}05\), rechtsseitiger Test): Wie lautet die Entscheidung?