Spannweite

Die Spannweite (Range) ist die einfachste Streuungskennzahl: die Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Wert.

Spannweite
\(R = x_{\max} - x_{\min}\)
Beispiel

Daten: 3, 7, 12, 5, 20 → \(R = 20 - 3 = 17\)

Nachteil: Die Spannweite berücksichtigt nur die beiden Extremwerte. Ein einziger Ausreißer kann die Spannweite stark verzerren.

Varianz

Die Varianz \(\sigma^2\) misst die durchschnittliche quadratische Abweichung aller Werte vom Mittelwert. Durch das Quadrieren werden positive und negative Abweichungen gleich behandelt.

Varianz (Grundgesamtheit)
\(\sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2\)

Verschiebungssatz: Alternativ lässt sich die Varianz so berechnen: \(\sigma^2 = \overline{x^2} - \bar{x}^2 = \frac{1}{n}\sum x_i^2 - \left(\frac{1}{n}\sum x_i\right)^2\)

Beispiel: Varianz berechnen für 2, 4, 6, 8, 10
1
Mittelwert: \(\bar{x} = \frac{2+4+6+8+10}{5} = 6\)
2
Abweichungen: \((2-6)^2 = 16\), \((4-6)^2 = 4\), \((6-6)^2 = 0\), \((8-6)^2 = 4\), \((10-6)^2 = 16\)
3
\(\sigma^2 = \frac{16 + 4 + 0 + 4 + 16}{5} = \frac{40}{5} = 8\)

Standardabweichung

Die Standardabweichung \(\sigma\) ist die Quadratwurzel der Varianz. Ihr Vorteil: Sie hat dieselbe Einheit wie die Daten und ist daher leichter zu interpretieren.

Standardabweichung
\(\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}\)
Beispiel (Fortsetzung)

\(\sigma = \sqrt{8} \approx 2{,}83\)

Interpretation: Die Werte weichen im Durchschnitt um ca. 2,83 vom Mittelwert 6 ab.

Interpretation der Streuung

Was sagt die Standardabweichung konkret aus?

  • Kleine Standardabweichung: Die Werte liegen eng beieinander (homogene Daten).
  • Große Standardabweichung: Die Werte sind weit gestreut (heterogene Daten).
Vergleich zweier Datensätze

Datensatz A: 5, 5, 6, 6, 5 → \(\bar{x} = 5{,}4\), \(\sigma \approx 0{,}49\) (wenig Streuung)

Datensatz B: 1, 3, 5, 8, 10 → \(\bar{x} = 5{,}4\), \(\sigma \approx 3{,}26\) (starke Streuung)

Beide Datensätze haben denselben Mittelwert, aber völlig unterschiedliche Streuung!

Übersicht der Streuungskennzahlen

KennzahlFormelEinheitRobustheit
Spannweite\(R = x_{\max} - x_{\min}\)OriginaleinheitSehr empfindlich
IQR\(Q_3 - Q_1\)OriginaleinheitRobust
Varianz\(\sigma^2\)Quadrierte EinheitMittel
Standardabw.\(\sigma\)OriginaleinheitMittel

Übungen

Aufgabe 1Leicht

Berechne die Spannweite von 4, 8, 15, 3, 12.

Aufgabe 2Mittel

Berechne die Varianz von 1, 3, 5.

Aufgabe 3Mittel

Die Varianz eines Datensatzes beträgt \(\sigma^2 = 25\). Wie groß ist die Standardabweichung?

Aufgabe 4Schwer

Datensatz A hat \(\sigma = 2\), Datensatz B hat \(\sigma = 8\). Was stimmt?

Aufgabe 5Schwer

Berechne die Standardabweichung von 10, 10, 10, 10.

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