Arithmetisches Mittel

Das arithmetische Mittel (Durchschnitt) \(\bar{x}\) ist die Summe aller Werte geteilt durch ihre Anzahl. Es ist die bekannteste Lagekennzahl, reagiert aber empfindlich auf Ausreißer.

Arithmetisches Mittel
\(\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}\)
Beispiel: Testpunkte 8, 12, 15, 9, 11

\(\bar{x} = \frac{8 + 12 + 15 + 9 + 11}{5} = \frac{55}{5} = 11\)

Median

Der Median \(\tilde{x}\) ist der mittlere Wert der sortierten Datenreihe. Er teilt die Daten in zwei gleich große Hälften und ist robust gegenüber Ausreißern.

Median
\(\tilde{x} = \begin{cases} x_{\frac{n+1}{2}} & \text{falls } n \text{ ungerade} \\ \frac{1}{2}\left(x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2}+1}\right) & \text{falls } n \text{ gerade} \end{cases}\)
Beispiel 1: Ungerade Anzahl (n = 5)

Sortiert: 8, 9, 11, 12, 15 → Median = \(x_3 = 11\)

Beispiel 2: Gerade Anzahl (n = 6)

Sortiert: 3, 5, 7, 9, 11, 13 → Median = \(\frac{7 + 9}{2} = 8\)

Modus

Der Modus (Modalwert) ist der Wert, der am häufigsten vorkommt. Ein Datensatz kann unimodal (ein Modus), bimodal (zwei Modi) oder multimodal sein.

Beispiel

Daten: 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 6 → Modus = 4 (kommt 3-mal vor)

Daten: 1, 2, 2, 3, 3, 4 → bimodal: Modus = 2 und 3

Wann welche Kennzahl? Der Modus ist die einzige Lagekennzahl, die auch für nominale Daten (z. B. Farben, Kategorien) sinnvoll ist. Median und Mittelwert erfordern mindestens ordinale Daten.

Quartile

Die Quartile teilen die sortierte Datenreihe in vier gleich große Teile:

  • \(Q_1\) (unteres Quartil): 25 % der Daten liegen darunter
  • \(Q_2\) = Median: 50 % der Daten liegen darunter
  • \(Q_3\) (oberes Quartil): 75 % der Daten liegen darunter
Interquartilsabstand (IQR)
\(IQR = Q_3 - Q_1\)

Der IQR umfasst die mittleren 50 % der Daten.

Beispiel: 12 sortierte Werte

2, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 22

1
\(Q_1\): Median der unteren Hälfte (2, 4, 5, 7, 8, 10) = \(\frac{5 + 7}{2} = 6\)
2
Median \(Q_2\): \(\frac{10 + 12}{2} = 11\)
3
\(Q_3\): Median der oberen Hälfte (12, 14, 15, 18, 20, 22) = \(\frac{15 + 18}{2} = 16{,}5\)
4
\(IQR = 16{,}5 - 6 = 10{,}5\)

Vergleich der Lagekennzahlen

KennzahlBerechnungStärkeSchwäche
MittelwertSumme ÷ AnzahlBerücksichtigt alle WerteEmpfindlich bei Ausreißern
MedianMittlerer Wert (sortiert)Robust bei AusreißernIgnoriert extreme Werte
ModusHäufigster WertAuch für nominale DatenNicht immer eindeutig
Quartile25/50/75-%-GrenzenZeigt VerteilungsstrukturAufwendiger zu berechnen

Übungen

Aufgabe 1Leicht

Berechne das arithmetische Mittel von 6, 10, 14.

Aufgabe 2Leicht

Bestimme den Median von 3, 7, 1, 9, 5.

Aufgabe 3Mittel

Datenreihe: 2, 4, 4, 6, 8, 100. Welche Lagekennzahl beschreibt die „typische Mitte" am besten?

Aufgabe 4Mittel

Bestimme den Median von 2, 4, 6, 8.

Aufgabe 5Schwer

Gegeben: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15. Wie groß ist der Interquartilsabstand \(IQR\)?

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