Beschreibende Statistik 6. Klasse

Boxplot erstellen – Schritt für Schritt

Ein Boxplot (Kastengrafik) fasst die Verteilung eines Datensatzes in einer kompakten Grafik zusammen. Du lernst, wie du die Fünf-Punkte-Zusammenfassung bestimmst, den Boxplot zeichnest und Ausreißer erkennst.

Die Fünf-Punkte-Zusammenfassung

Ein Boxplot basiert auf fünf Kennwerten (Five-Number Summary):

Kennwert	Symbol	Bedeutung
Minimum	\(x_{\min}\)	Kleinster Wert (ohne Ausreißer)
Unteres Quartil	\(Q_1\)	25 % der Daten liegen darunter
Median	\(\tilde{x}\)	50 % der Daten liegen darunter
Oberes Quartil	\(Q_3\)	75 % der Daten liegen darunter
Maximum	\(x_{\max}\)	Größter Wert (ohne Ausreißer)

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Beispiel: Testpunkte von 12 Schülern

Rohdaten: 45, 52, 38, 61, 55, 48, 42, 58, 50, 44, 63, 47

Sortieren: 38, 42, 44, 45, 47, 48, 50, 52, 55, 58, 61, 63

Minimum: \(x_{\min} = 38\)

Median (n = 12, gerade): \(\tilde{x} = \frac{48 + 50}{2} = 49\)

\(Q_1\): Median der unteren Hälfte (38, 42, 44, 45, 47, 48) = \(\frac{44 + 45}{2} = 44{,}5\)

\(Q_3\): Median der oberen Hälfte (50, 52, 55, 58, 61, 63) = \(\frac{55 + 58}{2} = 56{,}5\)

Maximum: \(x_{\max} = 63\)

Zusammenfassung: Min = 38, \(Q_1 = 44{,}5\), Median = 49, \(Q_3 = 56{,}5\), Max = 63

Ausreißer erkennen

Ein Wert gilt als Ausreißer, wenn er mehr als das 1,5-Fache des Interquartilsabstands vom Rand der Box entfernt liegt.

Ausreißer-Grenzen

\(\text{Untere Grenze} = Q_1 - 1{,}5 \cdot IQR\)
\(\text{Obere Grenze} = Q_3 + 1{,}5 \cdot IQR\)

Werte außerhalb dieser Grenzen sind Ausreißer und werden als einzelne Punkte dargestellt.

Beispiel: Ausreißer prüfen

Gegeben: \(Q_1 = 44{,}5\), \(Q_3 = 56{,}5\), also \(IQR = 56{,}5 - 44{,}5 = 12\)

Untere Grenze: \(44{,}5 - 1{,}5 \cdot 12 = 44{,}5 - 18 = 26{,}5\)

Obere Grenze: \(56{,}5 + 1{,}5 \cdot 12 = 56{,}5 + 18 = 74{,}5\)

Alle Werte (38 bis 63) liegen innerhalb → keine Ausreißer

Boxplot zeichnen

So zeichnest du den Boxplot:

Zeichne eine Zahlengerade mit passender Skalierung.
Zeichne die Box von \(Q_1\) bis \(Q_3\).
Markiere den Median als senkrechten Strich in der Box.
Zeichne die Whisker (Antennen) vom Rand der Box bis zum Minimum bzw. Maximum.
Bei Ausreißern: Whisker nur bis zum letzten „normalen" Wert, Ausreißer als einzelne Punkte.

Boxplot interpretieren

Breite der Box (IQR): Zeigt die Streuung der mittleren 50 % der Daten.
Position des Medians in der Box: Liegt er mittig → symmetrische Verteilung. Liegt er links → rechtsschiefe Verteilung. Liegt er rechts → linksschiefe Verteilung.
Länge der Whisker: Zeigt, wie weit die Randwerte vom Zentrum entfernt sind.
Ausreißer: Einzelne Punkte außerhalb der Whisker deuten auf ungewöhnliche Werte hin.

Vergleich: Boxplots eignen sich hervorragend, um mehrere Datensätze nebeneinander zu vergleichen – z. B. Testergebnisse verschiedener Klassen.