So ist eine Kreuztabelle aufgebaut
Eine Kreuztabelle stellt zwei Merkmale gegenüber. Das eine Merkmal bestimmt die Zeilen, das andere die Spalten, und in jedem Feld steht, wie viele Personen beide Ausprägungen gleichzeitig haben. Hat jedes Merkmal genau zwei Ausprägungen, heißt die Tabelle Vierfeldertafel.
| Rad | Bus | Summe | |
|---|---|---|---|
| Mädchen | 6 | 10 | 16 |
| Buben | 9 | 3 | 12 |
| Summe | 15 | 13 | 28 |
Die vier inneren Felder sind die eigentliche Tafel. Die Zeile und die Spalte „Summe" heißen Randsummen: 16 Mädchen, 12 Buben, 15 Radfahrer, 13 Busfahrer. Rechts unten steht die Gesamtzahl 28, und sie muss sich auf zwei Wegen ergeben: \(16 + 12 = 28\) und \(15 + 13 = 28\). Das ist die erste Kontrolle für jede Kreuztabelle.
Eine Kreuztabelle erstellen
Das Merkmal mit mehr Ausprägungen kommt meist in die Zeilen. Mit drei Verkehrsmitteln entsteht eine 3 × 2-Kreuztabelle:
| Mädchen | Buben | Summe | |
|---|---|---|---|
| Rad | 6 | 9 | 15 |
| Bus | 7 | 2 | 9 |
| zu Fuß | 3 | 1 | 4 |
| Summe | 16 | 12 | 28 |
Relative Häufigkeiten: Worauf bezieht sich das Prozent?
Die 6 Mädchen mit Rad lassen sich auf drei Arten in eine relative Häufigkeit verwandeln, und alle drei sind richtig - sie beantworten nur verschiedene Fragen:
| Bezugsgröße | Rechnung | Aussage |
|---|---|---|
| alle 28 | \(\frac{6}{28} = 0{,}214 = 21{,}4\,\%\) | Ein gutes Fünftel der Klasse sind Mädchen, die Rad fahren. |
| die 16 Mädchen (Zeile) | \(\frac{6}{16} = 0{,}375 = 37{,}5\,\%\) | Von den Mädchen fahren 37,5 % Rad. |
| die 15 Radfahrer (Spalte) | \(\frac{6}{15} = 0{,}4 = 40\,\%\) | Von den Radfahrern sind 40 % Mädchen. |
Der Satz „37,5 % der Mädchen fahren Rad" und der Satz „40 % der Radfahrer sind Mädchen" klingen ähnlich und bedeuten etwas völlig anderes. Welche Zahl gemeint ist, entscheidet das Wort nach „von": von den Mädchen, von den Radfahrern oder von allen. Die Frage „Fahren Buben öfter Rad als Mädchen?" vergleicht Zeilenanteile: \(\frac{9}{12} = 75\,\%\) der Buben gegen \(37{,}5\,\%\) der Mädchen. Ja, deutlich öfter - obwohl es insgesamt mehr Mädchen gibt.
Trägt man alle vier Felder als Anteil an der Gesamtzahl ein, entsteht die Vierfeldertafel mit relativen Häufigkeiten: 0,214; 0,357; 0,321; 0,107. Die Summe der vier Felder ist 1, und die Randsummen sind die Anteile der Mädchen (0,571), Buben (0,429), Radfahrer (0,536) und Busfahrer (0,464).
Eine unvollständige Tafel ergänzen
Oft sind nur einige Zahlen bekannt. Weil jede Zeile und jede Spalte eine Summe hat, lässt sich der Rest ausrechnen - meist reichen drei Zahlen plus die Gesamtzahl.
| Rad | Bus | Summe | |
|---|---|---|---|
| Mädchen | 5 | 13 | 18 |
| Buben | 7 | 5 | 12 |
| Summe | 12 | 18 | 30 |
Beim Ergänzen immer mit dem Feld beginnen, für das Zeilen- oder Spaltensumme und das Nachbarfeld bekannt sind. Jedes neu berechnete Feld schließt das nächste auf.
Aussagen prüfen
Beim Interpretieren geht es darum, Behauptungen an der Tafel zu messen. Für die Klasse mit 28 Schülern:
- „Mehr als die Hälfte fährt mit dem Rad." Richtig: \(\frac{15}{28} = 53{,}6\,\%\).
- „Die meisten Radfahrer sind Buben." Richtig: 9 von 15, das sind 60 %.
- „Die meisten Buben fahren Bus." Falsch: Nur 3 von 12 Buben fahren Bus, das sind 25 %.
- „Mädchen fahren seltener Rad als Buben." Richtig, wenn man die Anteile vergleicht (37,5 % gegen 75 %). Die absoluten Zahlen 6 und 9 allein sagen das noch nicht, weil es verschieden viele Mädchen und Buben gibt.
Die letzte Aussage zeigt den wichtigsten Grundsatz: Gruppen verschiedener Größe vergleicht man über relative Häufigkeiten, nie über die absoluten Zahlen.
Schon in der Oberstufe? Ab der 6. Klasse wird aus derselben Tafel die Vierfeldertafel der Wahrscheinlichkeitsrechnung: Die Zeilenanteile werden zu bedingten Wahrscheinlichkeiten, und ob Buben und Radfahren zusammenhängen, prüft man dann als stochastische Unabhängigkeit. Hier geht es zuerst darum, die Tafel richtig zu lesen und zu füllen.
Die häufigsten Fehler
- Falsche Bezugsgröße: „40 % der Mädchen fahren Rad" - nein, 40 % der Radfahrer sind Mädchen. Das Wort nach „von" bestimmt den Nenner.
- Absolute Zahlen verglichen: 9 Buben gegen 6 Mädchen heißt nicht automatisch „Buben fahren öfter Rad". Erst die Anteile 75 % und 37,5 % belegen das.
- Randsummen nicht geprüft: Wenn die Zeilensummen 28 ergeben und die Spaltensummen 27, ist eine Zahl falsch eingetragen.
- Person doppelt gezählt: Jede Person gehört in genau ein Feld. Wer mal Rad, mal Bus fährt, muss sich für die Umfrage entscheiden - oder das Merkmal bekommt eine dritte Ausprägung.
- Prozent und Anzahl vermischt: In einer Tafel stehen entweder Anzahlen oder Anteile, nicht beides durcheinander.
Übungen
In der Klasse oben: Wie viele Buben fahren mit dem Bus?
Welcher Anteil aller 28 Schüler sind Mädchen, die Rad fahren?
Welcher Anteil der Mädchen fährt Rad?
40 Schüler, davon 22 Mädchen. 25 haben ein eigenes Handy, 10 Mädchen haben keines. Wie viele Buben haben ein Handy?
In derselben Klasse: 12 von 22 Mädchen haben ein Handy. Welche Aussage ist richtig?
Fahren in der Klasse mit 28 Schülern Buben öfter Rad als Mädchen?
Wann heißt eine Kreuztabelle Vierfeldertafel?