Addition und Subtraktion

Zwei Vektoren in \(\mathbb{R}^3\) werden komponentenweise addiert bzw. subtrahiert:

Addition / Subtraktion
\(\vec{a} \pm \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 \pm b_1 \\ a_2 \pm b_2 \\ a_3 \pm b_3 \end{pmatrix}\)
Beispiel: Addition und Subtraktion

Berechne \(\vec{a} + \vec{b}\) und \(\vec{a} - \vec{b}\) mit \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}\) und \(\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}\).

1
\(\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} 3+1 \\ -1+2 \\ 4+(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)
2
\(\vec{a} - \vec{b} = \begin{pmatrix} 3-1 \\ -1-2 \\ 4-(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix}\)

Skalare Multiplikation

Bei der skalaren Multiplikation wird jede Komponente des Vektors mit einer reellen Zahl \(k\) multipliziert:

Skalare Multiplikation
\(k \cdot \vec{a} = k \cdot \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k \cdot a_1 \\ k \cdot a_2 \\ k \cdot a_3 \end{pmatrix}\)
Beispiel: Skalare Multiplikation

Berechne \(-2 \cdot \vec{a}\) mit \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}\).

1
\(-2 \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix}\)

Kollineare Vektoren

Zwei Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) sind kollinear (parallel), wenn es eine reelle Zahl \(k\) gibt mit \(\vec{b} = k \cdot \vec{a}\). Sie zeigen dann in die gleiche oder entgegengesetzte Richtung.

Skalarprodukt in R³

Das Skalarprodukt zweier Vektoren in \(\mathbb{R}^3\) ist die Summe der Produkte der jeweiligen Komponenten:

Skalarprodukt in R³
\(\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3\)

Die geometrische Bedeutung bleibt gleich:

Geometrische Form
\(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)\)
Beispiel: Skalarprodukt und Winkel

Berechne das Skalarprodukt und den Winkel zwischen \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\).

1
\(\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) + 2 \cdot 2 = 2 - 2 + 4 = 4\)
2
\(|\vec{a}| = \sqrt{1+4+4} = 3\), \(|\vec{b}| = \sqrt{4+1+4} = 3\)
3
\(\cos(\alpha) = \frac{4}{3 \cdot 3} = \frac{4}{9} \implies \alpha \approx 63{,}6°\)

Rechenregeln

Wichtige Rechenregeln in R³

Kommutativität: \(\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}\)

Assoziativität: \((\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})\)

Distributivität: \(k \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = k \cdot \vec{a} + k \cdot \vec{b}\)

Nullvektor: \(\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}\)

Gegenvektor: \(\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}\)

Tipp: Das Skalarprodukt ist kommutativ (\(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}\)) und distributiv (\(\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}\)), aber nicht assoziativ, da das Ergebnis eine Zahl ist.

Übungen

Aufgabe 1 Leicht

Berechne \(\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix}\).

Aufgabe 2 Leicht

Berechne \(3 \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}\).

Aufgabe 3 Mittel

Berechne das Skalarprodukt \(\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}\).

Aufgabe 4 Mittel

Stehen die Vektoren \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\) senkrecht aufeinander?

Aufgabe 5 Schwer

Berechne \(2\vec{a} - 3\vec{b}\) mit \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}\) und \(\vec{b} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\).

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