Flächenberechnung

Der Betrag des Kreuzprodukts gibt die Fläche des Parallelogramms an, das von zwei Vektoren aufgespannt wird:

Fläche des Parallelogramms
\(A_{\text{Parallelogramm}} = |\vec{a} \times \vec{b}|\)

Da ein Dreieck genau die Hälfte eines Parallelogramms ist, gilt:

Fläche des Dreiecks
\(A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot |\vec{a} \times \vec{b}|\)

wobei \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) zwei Seitenvektoren des Dreiecks sind

Beispiel: Dreiecksfläche berechnen

Berechne die Fläche des Dreiecks mit den Eckpunkten \(A(1|0|0)\), \(B(0|2|0)\) und \(C(0|0|3)\).

1
\(\vec{AB} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\)
2
\(\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 3 - 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot (-1) - (-1) \cdot 3 \\ (-1) \cdot 0 - 2 \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}\)
3
\(|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7\)
4
\(A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot 7 = 3{,}5\) FE

Normalvektor einer Ebene

Wenn eine Ebene durch zwei Richtungsvektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) aufgespannt wird, dann ist der Normalvektor der Ebene:

Normalvektor
\(\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}\)

Der Normalvektor steht senkrecht auf der Ebene.

Beispiel: Normalvektor bestimmen

Bestimme den Normalvektor der Ebene mit den Richtungsvektoren \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\).

1
\(\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \cdot 1 - 2 \cdot 1 \\ 2 \cdot 0 - 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\)

Der Normalvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\) steht senkrecht auf der Ebene.

Spatprodukt (Volumenberechnung)

Das Spatprodukt dreier Vektoren berechnet das Volumen des von ihnen aufgespannten Parallelepipeds (Spats):

Spatprodukt
\(V = |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}| = \left|\det\begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{pmatrix}\right|\)

Zuerst Kreuzprodukt, dann Skalarprodukt mit dem dritten Vektor

Wichtige Volumina

  • Parallelepiped: \(V = |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|\)
  • Tetraeder (Dreieckspyramide): \(V = \frac{1}{6} \cdot |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|\)
Beispiel: Volumen berechnen

Berechne das Volumen des Parallelepipeds, das von \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{c} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\) aufgespannt wird.

1
\(\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\)
2
\((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 2 \cdot 3 = 6\)
3
\(V = |6| = 6\) VE

Komplanarität

Drei Vektoren liegen genau dann in einer Ebene (komplanar), wenn ihr Spatprodukt null ist:

Komplanarität
\(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \text{ komplanar} \iff (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = 0\)

Tipp: Wenn das Spatprodukt null ist, spannen die drei Vektoren kein Volumen auf, sie liegen also in einer Ebene. Das ist auch ein wichtiges Kriterium bei der Prüfung, ob vier Punkte in einer Ebene liegen.

Übungen

Aufgabe 1 Mittel

Berechne die Fläche des Parallelogramms, das von \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\) aufgespannt wird.

Aufgabe 2 Mittel

Die Eckpunkte eines Dreiecks sind \(A(0|0|0)\), \(B(4|0|0)\) und \(C(0|3|0)\). Wie groß ist die Dreiecksfläche?

Aufgabe 3 Schwer

Berechne das Spatprodukt von \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{c} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\).

Aufgabe 4 Schwer

Sind die Vektoren \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\), \(\vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}\), \(\vec{c} = \begin{pmatrix} 7 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix}\) komplanar?

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