Was sind Vektoren in R³?
Ein Vektor in \(\mathbb{R}^3\) ist ein geordnetes Tripel aus drei reellen Zahlen. Man schreibt ihn als Spaltenvektor:
Vektor in R³
\(\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}\)
wobei \(v_1\), \(v_2\) und \(v_3\) reelle Zahlen sind
Die drei Komponenten beschreiben Verschiebungen entlang der drei Koordinatenachsen \(x\), \(y\) und \(z\). Damit lassen sich Punkte, Richtungen und Abstände im Raum beschreiben.
Von R² zu R³
Die meisten Konzepte aus \(\mathbb{R}^2\) lassen sich direkt auf \(\mathbb{R}^3\) übertragen:
- Addition und Subtraktion funktionieren weiterhin komponentenweise
- Skalare Multiplikation multipliziert jede der drei Komponenten
- Skalarprodukt wird auf drei Summanden erweitert
- Betrag verwendet die Wurzel aus der Summe der drei Quadrate
Neu in R³: Das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) ist eine Operation, die es nur in \(\mathbb{R}^3\) gibt. Es liefert einen Vektor, der senkrecht auf beiden Ausgangsvektoren steht.
Anwendungen im Raum
Vektoren in \(\mathbb{R}^3\) sind die Grundlage für:
- Geraden im Raum: Parameterdarstellung mit Stützvektor und Richtungsvektor
- Ebenen: Beschreibung von Flächen im dreidimensionalen Raum
- Abstände und Winkel: Berechnungen zwischen Punkten, Geraden und Ebenen
- Physik: Kräfte, Drehmomente und elektromagnetische Felder