Was sind Vektoren in R²?
Ein Vektor in \(\mathbb{R}^2\) ist ein geordnetes Paar aus zwei reellen Zahlen. Man schreibt ihn als Spaltenvektor:
Vektor in R²
\(\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}\)
wobei \(v_1\) und \(v_2\) reelle Zahlen sind
Vektoren können als Verschiebungen in der Ebene gedeutet werden: Die erste Komponente gibt die Verschiebung in \(x\)-Richtung an, die zweite in \(y\)-Richtung.
Grundoperationen mit Vektoren
Mit Vektoren kann man verschiedene Rechenoperationen durchführen:
- Addition: Zwei Vektoren werden komponentenweise addiert
- Subtraktion: Zwei Vektoren werden komponentenweise subtrahiert
- Skalare Multiplikation: Ein Vektor wird mit einer Zahl multipliziert
- Skalarprodukt: Aus zwei Vektoren wird eine Zahl berechnet
- Betrag: Die Länge eines Vektors wird berechnet
Hinweis: Alle Rechenoperationen werden komponentenweise durchgeführt. Das macht das Rechnen mit Vektoren besonders übersichtlich.
Wozu braucht man Vektoren?
Vektoren sind in vielen Bereichen unverzichtbar:
- Physik: Kräfte, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen sind Vektoren
- Geometrie: Geraden, Abstände und Winkel lassen sich mit Vektoren beschreiben
- Computergrafik: Positionen und Bewegungen auf dem Bildschirm
- Navigation: Richtung und Entfernung zum Ziel