Definition und Gleichung
Die Parabel ist die Menge aller Punkte \(P\), die von einem festen Punkt \(F\) (Brennpunkt) und einer festen Geraden \(\ell\) (Leitlinie) denselben Abstand haben:
\(F\) = Brennpunkt, \(\ell\) = Leitlinie
Normalform der Parabel
Die einfachste Form einer nach oben geöffneten Parabel mit Scheitel im Ursprung:
Parameter \(p\): Abstand vom Scheitel zum Brennpunkt. Es gilt \(a = \frac{1}{2p}\) bzw. \(p = \frac{1}{2a}\).
Brennpunkt und Leitlinie
Für die Parabel \(y = ax^2\) (mit \(a > 0\), nach oben geöffnet):
Brennpunkt: \(F\left(0 \middle| \frac{1}{4a}\right)\)
Leitlinie: \(y = -\frac{1}{4a}\)
Der Brennpunkt liegt oberhalb des Scheitels, die Leitlinie unterhalb (bei nach oben geöffneter Parabel).
Bestimme Brennpunkt und Leitlinie der Parabel \(y = 2x^2\).
Reflexionseigenschaft
Die wichtigste physikalische Eigenschaft der Parabel:
Reflexionseigenschaft
Strahlen, die parallel zur Achse auf eine Parabel treffen, werden alle im Brennpunkt gesammelt (und umgekehrt).
Anwendungen: Parabolspiegel, Satellitenschüsseln, Scheinwerfer, Radioteleskope
Eine Parabel hat den Brennpunkt \(F(0|3)\). Bestimme die Gleichung.
Tipp: Die Parabel ist der Grenzfall zwischen Ellipse und Hyperbel. Ihre Exzentrizität beträgt genau \(\varepsilon = 1\).
Übungen
Wo liegt der Brennpunkt der Parabel \(y = x^2\)?
Wie lautet die Leitlinie der Parabel \(y = \frac{1}{4}x^2\)?
Welche Eigenschaft nutzen Satellitenschüsseln?
Eine Parabel hat die Leitlinie \(y = -2\). Wie lautet die Gleichung (Scheitel im Ursprung, nach oben geöffnet)?